ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 849 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М. Найдите площадь треугольника АВМ, если АВ = 4 см, \(\angle BAD = 60^\circ\).

В параллелограмме \(ABCD\) угол \(BAD = 60^\circ\). Биссектриса \(AM\) делит угол \(BAD\) пополам, значит \(\angle BAM = 30^\circ\). Угол \(ABC = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\). Треугольник \(ABM\) равнобедренный, потому что \(AB = BM = 4\) см. Площадь треугольника \(ABM\) равна \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times BM \times \sin \angle ABM = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin 120^\circ \)
\(== 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\) см².

В параллелограмме \(ABCD\) дан угол \(BAD = 60^\circ\). По определению биссектрисы, луч \(AM\) делит угол \(BAD\) на два равных угла, значит \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).

Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны: \(AB \parallel DC\) и \(AD \parallel BC\). Следовательно, угол при вершине \(B\), смежный с углом \(ABC\), равен \(180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABM\). Отрезок \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\), значит точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), и по свойствам параллелограмма длины \(AB\) и \(BM\) равны, то есть \(AB = BM = 4\) см.

Площадь треугольника \(ABM\) можно найти по формуле через две стороны и угол между ними: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times BM \times \sin \angle ABM\).

Угол \(\angle ABM\) равен углу \(ABC\), который равен \(120^\circ\).

Подставляем значения: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin 120^\circ\).

Значение \(\sin 120^\circ = \sin (180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Следовательно, площадь равна \(S_{ABM} = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\) см².