ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 85 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( BC = a \), \( \angle A = \alpha \), \( \angle C = \gamma \). Найдите стороны \( AB \) и \( AC \).

Дано: \( BC = a \), \( \angle A = \alpha \), \( \angle C = \gamma \).

В треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \), значит \( \angle B = 180^\circ — (\alpha + \gamma) \).

По теореме синусов:
\( \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \angle B} \).

Отсюда:
\( AB = \frac{BC \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} \),
\( AC = \frac{BC \cdot \sin \angle B}{\sin \alpha} = \frac{a \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \alpha} \).

Ответ:
\( AB = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} \),
\( AC = \frac{a \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \alpha} \).

В треугольнике \( \triangle ABC \) нам даны сторона \( BC = a \) и углы \( \angle A = \alpha \) и \( \angle C = \gamma \). Чтобы найти остальные стороны \( AB \) и \( AC \), сначала нужно определить третий угол \( \angle B \). Известно, что сумма всех углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Значит, чтобы найти \( \angle B \), надо из \( 180^\circ \) вычесть сумму известных углов:
\( \angle B = 180^\circ — (\alpha + \gamma) \).

Следующий шаг — применить теорему синусов. Эта теорема утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех трех сторон. То есть:
\( \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \angle B} \).
Это равенство позволяет выразить неизвестные стороны через известные сторону \( BC \) и углы.

Для нахождения стороны \( AB \) используем часть равенства:
\( \frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{BC}{\sin \alpha} \),
откуда следует, что
\( AB = \frac{BC \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha} \).
Подставляя \( BC = a \), получаем
\( AB = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} \).

Аналогично для стороны \( AC \) из равенства
\( \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \alpha} \)
выражаем \( AC \):
\( AC = \frac{BC \cdot \sin \angle B}{\sin \alpha} \).
Подставляя \( BC = a \) и \( \angle B = 180^\circ — (\alpha + \gamma) \), получаем
\( AC = \frac{a \sin (180^\circ — (\alpha + \gamma))}{\sin \alpha} \).

Используем свойство синуса: \( \sin (180^\circ — x) = \sin x \), поэтому
\( AC = \frac{a \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \alpha} \).

В итоге получаем формулы для искомых сторон:
\( AB = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} \) и
\( AC = \frac{a \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \alpha} \).