ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 850 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите наибольшую высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Краткий ответ:

Дано: \(AB = 4\), \(BC = 13\), \(AC = 15\).

Полупериметр: \(p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = 16\).

Площадь по формуле Герона: \(S = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24\).

Высота на сторону \(AB\): \(h = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 24}{4} = 12\).

Радиус описанной окружности: \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{780}{96} = \frac{65}{8}\).

Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p} = \frac{24}{16} = 1.5\).

Ответ: \(12\) см; \(1.5\) см; \(\frac{65}{8}\) см.

Подробный ответ:

Даны стороны треугольника \(AB = 4\), \(BC = 13\), \(AC = 15\).

Сначала найдем полупериметр треугольника по формуле \(p = \frac{AB + BC + AC}{2}\). Подставляем значения: \(p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16\).

Далее вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона: \(S = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)}\). Подставляем числа: \(S = \sqrt{16 \cdot (16 — 4) \cdot (16 — 13) \cdot (16 — 15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24\).

Теперь найдем наибольшую высоту, которая опущена на наименьшую сторону \(AB\). Высота вычисляется по формуле \(h = \frac{2S}{AB}\). Подставляем значения: \(h = \frac{2 \cdot 24}{4} = \frac{48}{4} = 12\).

Для нахождения радиуса описанной окружности используем формулу \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S}\). Подставляем: \(R = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{780}{96} = \frac{65}{8}\).

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле \(r = \frac{S}{p}\). Подставляем значения: \(r = \frac{24}{16} = 1.5\).

Ответ: наибольшая высота \(h = 12\), радиус вписанной окружности \(r = 1.5\), радиус описанной окружности \(R = \frac{65}{8}\).

Оцени решение