ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 851 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Радиусы двух окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между их центрами — 44 см. Найдите длину общей хорды данных окружностей.

Краткий ответ:

Даны: \( AE = 17 \), \( BE = 39 \), \( AB = 44 \). Нужно найти \( EF \).

Полупериметр треугольника \( \triangle AEB \):
\( p = \frac{AE + BE + AB}{2} = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50 \).

Площадь треугольника \( \triangle AEB \) по формуле Герона:
\( S_{AEB} = \sqrt{p(p — AE)(p — BE)(p — AB)} = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \sqrt{108900}=\)
\( = 330 \).

Треугольники \( \triangle AEB \) и \( \triangle AFB \) равны, значит
\( S_{AFB} = S_{AEB} = 330 \).

Площадь четырёхугольника \( AEBF \):
\( S_{AEBF} = S_{AEB} + S_{AFB} = 2 \cdot 330 = 660 \).

Площадь через основание и высоту:
\( S_{AEBF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EF \).

Найдём \( EF \):
\( EF = \frac{2 \cdot S_{AEBF}}{AB} = \frac{2 \cdot 660}{44} = \frac{1320}{44} = 30 \).

Ответ: \( EF = 30 \) см.

Подробный ответ:

Даны две окружности с центрами в точках \( A \) и \( B \), радиусами \( AE = 17 \) см и \( BE = 39 \) см соответственно, а расстояние между центрами \( AB = 44 \) см. Нужно найти длину общей хорды \( EF \).

Сначала рассмотрим треугольник \( \triangle AEB \), в котором известны стороны \( AE = 17 \), \( BE = 39 \) и \( AB = 44 \).

Вычислим полупериметр треугольника \( \triangle AEB \) по формуле
\( p = \frac{AE + BE + AB}{2} = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50 \).

Далее найдём площадь треугольника \( \triangle AEB \) с помощью формулы Герона:
\( S_{AEB} = \sqrt{p(p — AE)(p — BE)(p — AB)} = \sqrt{50 \cdot (50 — 17) \cdot (50 — 39) }\cdot\)
\(\sqrt{\cdot (50 — 44)} = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \sqrt{108900} = 330 \).

Поскольку треугольники \( \triangle AEB \) и \( \triangle AFB \) равны (радиусы равны, а \( AB \) — общая сторона), площадь треугольника \( \triangle AFB \) также равна 330.

Площадь четырёхугольника \( AEBF \), образованного двумя этими треугольниками, равна сумме их площадей:
\( S_{AEBF} = S_{AEB} + S_{AFB} = 2 \cdot 330 = 660 \).

Площадь четырёхугольника \( AEBF \) можно выразить через основание \( AB \) и высоту \( EF \), так как \( EF \) — общая хорда, перпендикулярная \( AB \):
\( S_{AEBF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EF \).

Отсюда найдём длину хорды \( EF \):
\( EF = \frac{2 \cdot S_{AEBF}}{AB} = \frac{2 \cdot 660}{44} = \frac{1320}{44} = 30 \).

Ответ: \( EF = 30 \) см.

Оцени решение