ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 852 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Вычислите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 15 см, а диагонали — 11 см и 25 см.
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), поэтому \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{25}{2}\), \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{11}{2}\).
В треугольнике \(AOB\) по теореме косинусов:
\(\cos \angle AOB = \frac{AO^2 + BO^2 — AB^2}{2 \cdot AO \cdot BO} = \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{11}{2}\right)^2 — 15^2}{2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{11}{2}} = \frac{\frac{625}{4} + \frac{121}{4} — 225}{\frac{25 \cdot 11}{2}}=\)
\( = \frac{\frac{746}{4} — 225}{\frac{275}{2}} = \frac{\frac{746 — 900}{4}}{\frac{275}{2}} = \frac{-154/4}{275/2} = \frac{-154}{4} \cdot \frac{2}{275} = \frac{-308}{1100} = -\frac{7}{25}\).
Тогда \(\sin \angle AOB = \sqrt{1 — \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 — \left(-\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\).
Площадь параллелограмма:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 11 \cdot \frac{24}{25} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 24 = 132\).
Ответ: \(132 \text{ см}^2\).
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Это значит, что отрезок \(AO\) равен половине диагонали \(AC\), а отрезок \(BO\) равен половине диагонали \(BD\). Поэтому можно записать: \(AO = \frac{AC}{2}\) и \(BO = \frac{BD}{2}\). Подставляя данные из условия, получаем \(AO = \frac{25}{2}\) и \(BO = \frac{11}{2}\). Это важный шаг, так как теперь мы можем рассматривать треугольник \(AOB\), в котором известны две стороны и сторона \(AB\), чтобы найти угол между диагоналями.
Далее рассмотрим треугольник \(AOB\). Нам нужно найти угол \(\angle AOB\), чтобы вычислить площадь параллелограмма через диагонали и синус угла между ними. Для этого используем теорему косинусов, которая позволяет найти косинус угла, если известны длины всех трёх сторон треугольника. Формула теоремы косинусов для угла \(AOB\) выглядит так: \(\cos \angle AOB = \frac{AO^2 + BO^2 — AB^2}{2 \cdot AO \cdot BO}\). Теперь подставим известные значения: \(AO^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2 = \frac{625}{4}\), \(BO^2 = \left(\frac{11}{2}\right)^2 = \frac{121}{4}\), а \(AB^2 = 15^2 = 225\). Сложим квадраты сторон \(AO^2\) и \(BO^2\): \(\frac{625}{4} + \frac{121}{4} = \frac{746}{4}\). Затем вычтем квадрат стороны \(AB^2\): \(\frac{746}{4} — 225\). Чтобы вычесть, представим 225 в виде дроби с общим знаменателем 4: \(225 = \frac{900}{4}\), тогда разность равна \(\frac{746 — 900}{4} = \frac{-154}{4}\).
Теперь вычислим знаменатель формулы: \(2 \cdot AO \cdot BO = 2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{11}{2} = \frac{25 \cdot 11}{2} = \frac{275}{2}\). Подставляем числитель и знаменатель в формулу для косинуса: \(\cos \angle AOB = \frac{\frac{-154}{4}}{\frac{275}{2}} = \frac{-154}{4} \cdot \frac{2}{275} = \frac{-308}{1100} = -\frac{7}{25}\). Получили, что косинус угла \(\angle AOB\) равен \(-\frac{7}{25}\). Чтобы найти синус угла, используем формулу: \(\sin \angle AOB = \sqrt{1 — \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 — \left(-\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625 — 49}{625}} =\)
\(= \sqrt{\frac{576}{625}}= \frac{24}{25}\).
Площадь параллелограмма можно найти через диагонали и синус угла между ними по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle AOB\). Подставим известные значения: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 11 \cdot \frac{24}{25}\). Сократим 25 в числителе и знаменателе: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 264 = 132\). Таким образом, площадь параллелограмма равна \(132 \text{ см}^2\).
