ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 853 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 16 см и 44 см, а боковые стороны — 17 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot 25 \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 16 \cdot \frac{15}{17} = 330 + 120 = 450 \text{ см}^2\).

Дано трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = 16 \text{ см}\) и \(AD = 44 \text{ см}\), боковыми сторонами \(AB = 17 \text{ см}\) и \(CD = 25 \text{ см}\).

Обозначим углы при вершинах \(A\) и \(D\) как \(\angle A\) и \(\angle D\). В трапеции сумма углов при одной стороне равна \(180^\circ\), значит \(\angle B = 180^\circ — \angle A\), \(\angle C = 180^\circ — \angle D\), и следовательно \(\cos \angle B = -\cos \angle A\), \(\cos \angle C = -\cos \angle D\).

Рассмотрим диагональ \(AC\) в треугольниках \(ABC\) и \(ADC\). По теореме косинусов для треугольника \(ABC\):
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cos \angle B = 17^2 + 16^2 — 2 \cdot 17 \cdot 16\)
\( \cos (180^\circ — \angle A) = 289 + 256 + 2 \cdot 17 \cdot 16 \cos \angle A = 545 + 544 \cos \angle A\).

Для треугольника \(ADC\):
\(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cos \angle D = 44^2 + 25^2 -\)
\(- 2 \cdot 44 \cdot 25 \cos \angle D = 1936 + 625 — 2200 \cos \angle D = 2561 — 2200 \cos \angle D\).

Приравниваем выражения для \(AC^2\):
\(545 + 544 \cos \angle A = 2561 — 2200 \cos \angle D\),
отсюда
\(544 \cos \angle A = 2016 — 2200 \cos \angle D\),
то есть
\(\cos \angle A = \frac{2016}{544} — \frac{2200}{544} \cos \angle D = \frac{63}{17} — \frac{275}{68} \cos \angle D\).

Рассмотрим диагональ \(BD\) в треугольниках \(ABD\) и \(BCD\). По теореме косинусов для треугольника \(ABD\):
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cos \angle A = 289 + 1936 — \)
\(-2 \cdot 17 \cdot 44 \cos \angle A = 2225 — 1496 \cos \angle A\).

Для треугольника \(BCD\):
\(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2 \cdot BC \cdot CD \cos \angle C = 256 + 625 + \)
\(+2 \cdot 16 \cdot 25 \cos \angle D = 881 + 800 \cos \angle D\).

Приравниваем выражения для \(BD^2\):
\(2225 — 1496 \cos \angle A = 881 + 800 \cos \angle D\),
отсюда
\(1344 = 1496 \cos \angle A + 800 \cos \angle D\).

Подставляем выражение для \(\cos \angle A\):
\(1344 = 1496 \left(\frac{63}{17} — \frac{275}{68} \cos \angle D \right) + 800 \cos \angle D\).

Раскрываем скобки:
\(1344 = 1496 \cdot \frac{63}{17} — 1496 \cdot \frac{275}{68} \cos \angle D + 800 \cos \angle D\).

Вычисляем коэффициенты:
\(1496 \cdot \frac{63}{17} = 5544\),
\(1496 \cdot \frac{275}{68} = 6050\).

Получаем уравнение:
\(1344 = 5544 — 6050 \cos \angle D + 800 \cos \angle D\),
то есть
\(1344 = 5544 — 5250 \cos \angle D\),
следовательно
\(-4200 = -5250 \cos \angle D\),
откуда
\(\cos \angle D = \frac{4}{5}\).

Подставляем обратно в выражение для \(\cos \angle A\):
\(\cos \angle A = \frac{63}{17} — \frac{275}{68} \cdot \frac{4}{5} = \frac{63}{17} — \frac{1100}{340} = \frac{63}{17} — \frac{11}{17} = \frac{52}{17} = \frac{8}{17}\).

Находим синусы углов:
\(\sin \angle D = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\),
\(\sin \angle B = \sin (180^\circ — \angle A) = \sin \angle A = \sqrt{1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \frac{15}{17}\).

Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников \(ADC\) и \(ABC\):
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin \angle D + \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot 25 \cdot \frac{3}{5} +\)
\(+ \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 16 \cdot \frac{15}{17} = 330 + 120 = 450 \text{ см}^2\).