ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 854 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания трапеции равны 5 см и 12 см, а диагонали — 9 см и 10 см. Найдите площадь трапеции.
Дано: трапеция \(ABCD\), \(BC=5\), \(AD=12\), диагонали \(AC=9\), \(BD=10\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Тогда треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны, так как \(AD \parallel BC\) и вертикальные углы равны.
Коэффициент подобия \(k = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{5}\).
Отсюда \(AO = \frac{12}{5} OC\), \(DO = \frac{12}{5} OB\).
Так как \(AC = AO + OC = 9\), то \( \frac{12}{5} OC + OC = 9\), значит \(OC \left(\frac{12}{5} + 1\right) = 9\), \(OC \cdot \frac{17}{5} = 9\), откуда \(OC = \frac{5}{17} \cdot 9 = \frac{45}{17}\).
Аналогично \(BD = BO + DO = 10\), значит \(BO + \frac{12}{5} BO = 10\), \(BO \cdot \frac{17}{5} = 10\), откуда \(BO = \frac{5}{17} \cdot 10 = \frac{50}{17}\).
В треугольнике \(BOC\) по теореме косинусов:
\(\cos \angle BOC = \frac{BO^2 + OC^2 — BC^2}{2 \cdot BO \cdot OC} = \frac{\left(\frac{50}{17}\right)^2 + \left(\frac{45}{17}\right)^2 — 5^2}{2 \cdot \frac{50}{17} \cdot \frac{45}{17}} = \frac{\frac{2500}{289} + \frac{2025}{289} — 25}{2 \cdot \frac{2250}{289}} = \frac{\frac{4525}{289} — 25}{\frac{4500}{289}} =\)
\(= \frac{\frac{4525 — 7225}{289}}{\frac{4500}{289}} = \frac{-2700}{4500} = -\frac{3}{5}\).
Тогда \(\sin \angle BOC = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}\).
Площадь трапеции:
\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 36\).
Ответ: \(36\) см².
Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = 5\) см и \(AD = 12\) см, диагоналями \(AC = 9\) см и \(BD = 10\) см. Нужно найти площадь трапеции.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(BOC\). Поскольку \(AD \parallel BC\), углы \(DAC\) и \(BCA\) равны, а также углы \(AOD\) и \(BOC\) — вертикальные, значит треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны по двум углам.
Обозначим коэффициент подобия треугольников как \(k\). Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны, значит \(k = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{5}\).
Отсюда можно записать, что \(AO = \frac{12}{5} OC\) и \(DO = \frac{12}{5} OB\).
Диагональ \(AC\) равна сумме частей \(AO\) и \(OC\), то есть \(AC = AO + OC = 9\). Подставим выражение для \(AO\): \(AO = \frac{12}{5} OC\), тогда \( \frac{12}{5} OC + OC = 9\), что даёт \(OC \left(\frac{12}{5} + 1\right) = 9\), или \(OC \cdot \frac{17}{5} = 9\). Отсюда \(OC = \frac{5}{17} \cdot 9 = \frac{45}{17}\).
Аналогично для диагонали \(BD\), которая равна сумме \(BO + DO = 10\). Подставляя \(DO = \frac{12}{5} OB\), получаем \(BO + \frac{12}{5} BO = 10\), или \(BO \cdot \frac{17}{5} = 10\), откуда \(BO = \frac{5}{17} \cdot 10 = \frac{50}{17}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(BOC\) и найдём угол \( \angle BOC \) с помощью теоремы косинусов. По формуле:
\(\cos \angle BOC = \frac{BO^2 + OC^2 — BC^2}{2 \cdot BO \cdot OC}\).
Подставим значения: \(BO = \frac{50}{17}\), \(OC = \frac{45}{17}\), \(BC = 5\).
Вычислим квадраты:
\(BO^2 = \left(\frac{50}{17}\right)^2 = \frac{2500}{289}\),
\(OC^2 = \left(\frac{45}{17}\right)^2 = \frac{2025}{289}\),
\(BC^2 = 25\).
Подставим в формулу:
\(\cos \angle BOC = \frac{\frac{2500}{289} + \frac{2025}{289} — 25}{2 \cdot \frac{50}{17} \cdot \frac{45}{17}} = \frac{\frac{4525}{289} — 25}{2 \cdot \frac{2250}{289}} = \frac{\frac{4525 — 7225}{289}}{\frac{4500}{289}} = \frac{-2700}{4500} = -\frac{3}{5}\).
Найдём синус угла \( \angle BOC \):
\(\sin \angle BOC = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\).
Площадь трапеции можно найти по формуле через диагонали и угол между ними:
\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 36\).
Ответ: 36 см².
