Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 855 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь правильного \(n\)-угольника, если радиус вписанной в него окружности равен 6 см, а \(n\) равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
Радиус вписанной окружности \( r = 6 \). Длина стороны \( a = 2r \cdot \tan \frac{180^\circ}{n} \). Площадь \( S = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot r \).
Для \( n = 3 \):
\( a = 12 \sqrt{3} \),
\( S = 108 \sqrt{3} \).
Для \( n = 4 \):
\( a = 12 \),
\( S = 144 \).
Для \( n = 6 \):
\( a = \frac{12 \sqrt{3}}{3} \),
\( S = 72 \sqrt{3} \).
Радиус вписанной окружности правильного многоугольника обозначается как \( r \) и равен 6 см. Этот радиус — расстояние от центра многоугольника до любой стороны, перпендикулярное ей. Для нахождения длины стороны \( a \) правильного многоугольника с \( n \) сторонами используется формула \( a = 2r \cdot \tan \frac{180^\circ}{n} \). Здесь угол \( \frac{180^\circ}{n} \) — это половина центрального угла, который равен \( \frac{360^\circ}{n} \), так как многоугольник правильный и его вершины равномерно распределены по окружности. Тангенс этого угла помогает определить длину стороны через радиус вписанной окружности.
Площадь правильного многоугольника вычисляется по формуле \( S = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot r \), где \( n \) — количество сторон, \( a \) — длина стороны, а \( r \) — радиус вписанной окружности. Формула получается из того, что многоугольник можно разбить на \( n \) равных равнобедренных треугольников, у каждого из которых основание — сторона многоугольника \( a \), а высота — радиус вписанной окружности \( r \). Площадь каждого такого треугольника равна \( \frac{1}{2} a r \), умножая на количество сторон, получаем площадь всего многоугольника.
Рассмотрим конкретные случаи для \( n = 3 \), \( n = 4 \) и \( n = 6 \). Для треугольника с \( n = 3 \) вычисляем длину стороны: \( a = 2 \cdot 6 \cdot \tan 60^\circ = 12 \sqrt{3} \) см, так как \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \). Площадь равна \( S = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{3} \cdot 6 = 108 \sqrt{3} \) см². Для квадрата с \( n = 4 \) длина стороны: \( a = 2 \cdot 6 \cdot \tan 45^\circ = 12 \) см, так как \( \tan 45^\circ = 1 \). Площадь: \( S = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 144 \) см². Для шестиугольника с \( n = 6 \) длина стороны: \( a = 2 \cdot 6 \cdot \tan 30^\circ = 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} \) см, так как \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Площадь: \( S = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 72 \sqrt{3} \) см².
