ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 856 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружность вписан квадрат со стороной 4 см. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной 4: \( R = \frac{4}{2 \sin \frac{180^\circ}{4}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \).

Сторона правильного треугольника: \( a_3 = 2 R \sin \frac{180^\circ}{3} = 2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{6} \).

Площадь правильного треугольника: \( S = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2 \sqrt{6})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{24 \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

Ответ: \( 6 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

Вписанный в окружность квадрат со стороной \( a_4 = 4 \) см имеет диагональ, равную \( a_4 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \) см. Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, то есть \( R = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \) см.

Правильный треугольник вписан в ту же окружность, значит радиус описанной окружности у него такой же, \( R = 2 \sqrt{2} \) см. Для правильного треугольника радиус описанной окружности связан со стороной формулой \( R = \frac{a_3}{2 \sin \frac{180^\circ}{3}} = \frac{a_3}{2 \sin 60^\circ} \).

Значение синуса 60 градусов равно \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому \( R = \frac{a_3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a_3}{\sqrt{3}} \). Отсюда сторона правильного треугольника равна \( a_3 = R \sqrt{3} = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{6} \) см.

Площадь правильного треугольника с длиной стороны \( a_3 \) вычисляется по формуле \( S = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} \). Подставляя найденное значение, получаем \( S = \frac{(2 \sqrt{6})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3} \) см².