ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 857 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

Краткий ответ:

Сторона треугольника \(a_3 = 2R \sin \frac{180^\circ}{3} = R \sqrt{3}\), сторона шестиугольника \(a_6 = 2R \sin \frac{180^\circ}{6} = R\). Радиус вписанной окружности треугольника \(r_3 = \frac{a_3}{2 \tan \frac{180^\circ}{3}} = \frac{R}{2}\), шестиугольника \(r_6 = \frac{a_6}{2 \tan \frac{180^\circ}{6}} = \frac{R \sqrt{3}}{2}\). Площади \(S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot a_3 \cdot r_3 = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4}\), \(S_6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot a_6 \cdot r_6 = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}\). Отношение \( \frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}\). Ответ: 1 : 2.

Подробный ответ:

Правильный треугольник и правильный шестиугольник вписаны в окружность радиуса \( R \). Сторона правильного многоугольника с \( n \) сторонами, вписанного в окружность радиуса \( R \), равна \( a_n = 2R \sin \frac{180^\circ}{n} \).

Для треугольника (\( n=3 \)) сторона равна \( a_3 = 2R \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3} \).

Для шестиугольника (\( n=6 \)) сторона равна \( a_6 = 2R \sin 30^\circ = 2R \cdot \frac{1}{2} = R \).

Радиус вписанной окружности правильного многоугольника равен \( r_n = \frac{a_n}{2 \tan \frac{180^\circ}{n}} \).

Для треугольника \( r_3 = \frac{a_3}{2 \tan 60^\circ} = \frac{R \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{R}{2} \).

Для шестиугольника \( r_6 = \frac{a_6}{2 \tan 30^\circ} = \frac{R}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{R \sqrt{3}}{2} \).

Площадь правильного многоугольника с \( n \) сторонами равна \( S_n = \frac{1}{2} \cdot n \cdot a_n \cdot r_n \).

Для треугольника \( S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot R \sqrt{3} \cdot \frac{R}{2} = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4} \).

Для шестиугольника \( S_6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot R \cdot \frac{R \sqrt{3}}{2} = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{2} \).

Отношение площадей равно \( \frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \).

Ответ: 1 : 2.

Оцени решение