ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 858 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Середины сторон правильного двенадцатиугольника соединены через одну так, что полученной фигурой является правильный шестиугольник. Найдите сторону данного двенадцатиугольника, если сторона полученного шестиугольника равна \(a\).

Сторона двенадцатиугольника равна \( a_{12} = 2a \sin 15^\circ = 2a \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} = a \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{2} \).

Правильный двенадцатиугольник вписан в окружность с радиусом \( R \). Его сторона равна \( a_{12} = 2R \sin \frac{180^\circ}{12} = 2R \sin 15^\circ \).

Вершины правильного шестиугольника — это середины сторон двенадцатиугольника. Середина стороны двенадцатиугольника лежит на радиусе окружности, и расстояние между соседними серединами равно стороне шестиугольника.

Сторона шестиугольника равна \( a \) и равна длине хорды, которая соответствует углу в \( 60^\circ \) на окружности, так как вершины шестиугольника через одну совпадают с вершинами двенадцатиугольника.

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу окружности, то есть \( a = R \).

Подставляем \( R = a \) в формулу для стороны двенадцатиугольника:

\( a_{12} = 2a \sin 15^\circ \).

Вычислим \( \sin 15^\circ \) через известные углы:

\( \sin 15^\circ = \sin (45^\circ — 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ — \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} -\)
\(- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} \).

Подставляя это значение, получаем:

\( a_{12} = 2a \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} = a \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{2} \).