ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 86 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагональ параллелограмма равна \( d \) и образует с его сторонами углы \( \alpha \) и \( \beta \). Найдите стороны параллелограмма.
В параллелограмме \( ABCD \) диагональ \( AC = d \), углы при вершине \( A \) равны \( \alpha \) и \( \beta \).
Сторона \( AD = BC = \frac{d \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
Сторона \( AB = CD = \frac{d \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \).
Пусть \( ABCD \) — параллелограмм, диагональ \( AC = d \), углы при вершине \( A \) равны \( \alpha \) и \( \beta \).
В треугольнике \( ABC \) по теореме синусов имеем отношение сторон и синусов противолежащих углов: \( \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \alpha} \).
Угол \( \angle B \) равен \( 180^\circ — (\alpha + \beta) \), а синус угла \( 180^\circ — x \) равен синусу угла \( x \), значит \( \sin \angle B = \sin(\alpha + \beta) \).
Подставляем в теорему синусов: \( \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{BC}{\sin \alpha} \).
Отсюда находим сторону \( BC = \frac{d \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
В параллелограмме \( BC = AD \), значит \( AD = \frac{d \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
Теперь рассмотрим треугольник \( ADC \). По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin \angle D} = \frac{CD}{\sin \beta} \).
Угол \( \angle D \) равен \( 180^\circ — (\alpha + \beta) \), значит \( \sin \angle D = \sin(\alpha + \beta) \).
Подставляем: \( \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{CD}{\sin \beta} \).
Отсюда находим сторону \( CD = \frac{d \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \).
В параллелограмме \( CD = AB \), значит \( AB = \frac{d \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \).
Итак, стороны параллелограмма равны \( AB = \frac{d \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \) и \( AD = \frac{d \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
