ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 860 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На катете \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой \(AB\), если \(\angle A = 42^\circ\), \(AC = 8\) см.

Радиус окружности \(R = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Центральный угол дуги \(AE\) равен \(180^\circ — 2 \times 42^\circ = 96^\circ\). Длина дуги \(AE = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \frac{\pi \times 4 \times 96}{180} = \frac{32 \pi}{15}\) см. Ответ: \( \frac{32 \pi}{15} \) см.

Дано, что \(AC\) — диаметр окружности, равный 8 см, значит радиус окружности \(R = \frac{AC}{2} = 4\) см.

В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\), угол при вершине \(A\) равен \(42^\circ\), тогда угол при вершине \(B\) равен \(180^\circ — 90^\circ — 42^\circ = 48^\circ\).

Поскольку \(AC\) — диаметр, точка \(B\) лежит на окружности, и угол \(C\) — прямой, что подтверждает правильность построения.

Угол при центре окружности, опирающийся на дугу \(AE\), равен удвоенному углу при окружности, опирающемуся на ту же дугу. Угол при окружности равен \(42^\circ\), значит центральный угол \(AOE = 2 \times 42^\circ = 84^\circ\).

Дуга \(AE\) является частью окружности, ограниченной центральным углом \(360^\circ — 84^\circ = 276^\circ\), но нам нужна дуга вне треугольника, то есть меньшая дуга, соответствующая углу \(84^\circ\).

Длина дуги \(AE\) вычисляется по формуле \(L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}\), где \(\alpha\) — центральный угол в градусах.

Подставляем значения: \(L = \frac{\pi \times 4 \times 84}{180} = \frac{336 \pi}{180} = \frac{28 \pi}{15}\) см.

Ответ: длина дуги \(AE\) равна \( \frac{28 \pi}{15} \) см.