ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 862 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Расстояние между центрами двух кругов радиуса R равно R. Найдите площадь фигуры, являющейся общей частью этих кругов, и длину линии, ограничивающей эту фигуру.

Площадь общей части двух кругов радиуса \(R\) с расстоянием между центрами \(R\) равна \(S = \frac{R^2 (4 \pi — 3 \sqrt{3})}{6}\). Длина линии, ограничивающей эту фигуру, равна \(P = \frac{4 \pi R}{3}\).

Даны два круга радиуса \(R\), расстояние между центрами которых равно \(R\). Обозначим центры кругов как точки \(A\) и \(B\), тогда \(AB = R\).

Пересечение двух кругов образует фигуру, ограниченную двумя дугами, каждая из которых соответствует углу в 120 градусов в своем круге, так как треугольник \(ABC\), где \(C\) — точка пересечения дуг, равносторонний с длиной стороны \(R\).

Площадь сектора круга с центральным углом 120 градусов равна \(S_{\text{сектор}} = \pi R^{2} \cdot \frac{120}{360} = \frac{\pi R^{2}}{3}\).

Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой пересечения, равна \(S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} R^{2} \sin 120^{\circ} = \frac{R^{2} \sqrt{3}}{4}\).

Площадь сегмента, ограниченного дугой и хордой, равна разности площади сектора и площади треугольника: \(S_{\text{сегмент}} = \frac{\pi R^{2}}{3} — \frac{R^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{R^{2} (4 \pi — 3 \sqrt{3})}{12}\).

Общая площадь пересечения двух кругов состоит из двух таких сегментов, значит \(S = 2 S_{\text{сегмент}} = \frac{R^{2} (4 \pi — 3 \sqrt{3})}{6}\).

Длина дуги, соответствующая углу 120 градусов, равна \(L_{\text{дуга}} = 2 \pi R \cdot \frac{120}{360} = \frac{2 \pi R}{3}\).

Периметр пересечения — сумма двух таких дуг, то есть \(P = 2 L_{\text{дуга}} = \frac{4 \pi R}{3}\).