ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 865 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину окружности, вписанной в сегмент, длина дуги которого равна m, а градусная мера равна 120°.

Длина дуги \( L = m \), угол \( \angle AOB = 120^\circ \).

Радиус большой окружности \( R = \frac{3m}{2 \pi} \).

В равностороннем треугольнике \( \triangle AOD \) медиана \( DC = \frac{R}{2} = \frac{3m}{4 \pi} \).

Радиус вписанной окружности \( DE = \frac{DC}{2} = \frac{3m}{8 \pi} \).

Длина вписанной окружности \( C = 2 \pi DE = 2 \pi \cdot \frac{3m}{8 \pi} = \frac{3m}{4} \).

Ответ: \( \frac{3m}{4} \).

Длина дуги окружности вычисляется по формуле \( L = \frac{\pi R \cdot \angle AOB}{180^\circ} \). Подставляем данные: \( m = \frac{\pi R \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{2 \pi R}{3} \). Отсюда выражаем радиус большой окружности: \( R = \frac{3m}{2 \pi} \).

В треугольнике \( \triangle AOD \) стороны \( AO \) и \( OD \) равны \( R \), а угол \( \angle DOA = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ \). Значит, \( \triangle AOD \) равносторонний, и медиана \( DC \) равна половине стороны: \( DC = \frac{R}{2} = \frac{3m}{4 \pi} \).

Радиус вписанной окружности равен половине медианы: \( DE = \frac{DC}{2} = \frac{3m}{8 \pi} \).

Длина вписанной окружности равна \( C = 2 \pi DE = 2 \pi \cdot \frac{3m}{8 \pi} = \frac{3m}{4} \).

Ответ: \( \frac{3m}{4} \).