ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 867 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

К окружности, радиус которой равен R, проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей из дуг, концами которых являются точки касания.

Длины сторон: \( AB = \sqrt{(-2+4)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{13} \), \( BC = \sqrt{(0+2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{13} \), \( AC = \sqrt{(0+4)^2 + (1-1)^2} = 4 \).
Треугольник равнобедренный, так как \( AB = BC \).
Середина \( M \) стороны \( AC \): \( x = \frac{-4+0}{2} = -2 \), \( y = \frac{1+1}{2} = 1 \).
Длина \( BM = \sqrt{(-2+2)^2 + (4-1)^2} = 3 \).
Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \).
Ответ: 6.

Даны точки \( A(-4; 1) \), \( B(-2; 4) \), \( C(0; 1) \). Для начала найдём длины сторон треугольника. Расстояние между точками вычисляется по формуле \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).

Длина стороны \( AB \) равна \( \sqrt{(-2 + 4)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

Длина стороны \( BC \) равна \( \sqrt{(0 + 2)^2 + (1 — 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

Длина стороны \( AC \) равна \( \sqrt{(0 + 4)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \).

Так как \( AB = BC \), треугольник равнобедренный.

Найдём середину стороны \( AC \): координаты \( M \) равны \( x_M = \frac{-4 + 0}{2} = -2 \), \( y_M = \frac{1 + 1}{2} = 1 \).

Высота, опущенная из вершины \( B \) на основание \( AC \), равна длине отрезка \( BM \), который вычисляется как \( \sqrt{(-2 + 2)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \).

Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \).

Ответ: 6.