ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 868 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка АВ с осью абсцисс, если А (5; -3), В (4; 6).

Краткий ответ:

Координаты середины отрезка \( M\left(\frac{5+4}{2}; \frac{-3+6}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}; \frac{3}{2}\right) \).
Угловой коэффициент прямой \( AB \) равен \( k = \frac{6 — (-3)}{4 — 5} = -9 \).
Угловой коэффициент перпендикуляра \( k_{\perp} = -\frac{1}{k} = \frac{1}{9} \).
Уравнение серединного перпендикуляра: \( y — \frac{3}{2} = \frac{1}{9} \left(x — \frac{9}{2}\right) \), или \( y = \frac{1}{9}x + 1 \).
При \( y = 0 \), \( 0 = \frac{1}{9}x + 1 \Rightarrow x = -9 \).
Ответ: \( (-9; 0) \).

Подробный ответ:

Даны точки \( A(5; -3) \) и \( B(4; 6) \). Сначала найдём координаты середины отрезка \( AB \) по формулам \( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \), \( y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \). Получаем \( M\left(\frac{5 + 4}{2}; \frac{-3 + 6}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}; \frac{3}{2}\right) \).

Далее найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \( A \) и \( B \), используя формулу \( k = \frac{y_B — y_A}{x_B — x_A} \). Подставляем значения: \( k = \frac{6 — (-3)}{4 — 5} = \frac{9}{-1} = -9 \).

Уравнение прямой \( AB \) имеет вид \( y = kx + b \). Подставим точку \( A(5; -3) \) для нахождения \( b \): \( -3 = -9 \cdot 5 + b \), откуда \( b = -3 + 45 = 42 \). Значит, уравнение прямой \( AB \) — \( y = -9x + 42 \).

Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен отрицательной обратной величине \( k \), то есть \( k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{-9} = \frac{1}{9} \).

Серединный перпендикуляр проходит через точку \( M\left(\frac{9}{2}; \frac{3}{2}\right) \) и имеет угловой коэффициент \( \frac{1}{9} \), следовательно, его уравнение записывается как \( y — \frac{3}{2} = \frac{1}{9}\left(x — \frac{9}{2}\right) \).

Раскроем скобки и выразим \( y \): \( y = \frac{1}{9}x — \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{9}x — \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{9}x + 1 \).

Чтобы найти точку пересечения с осью \( Ox \), приравняем \( y \) к нулю: \( 0 = \frac{1}{9}x + 1 \), откуда \( \frac{1}{9}x = -1 \), и \( x = -9 \).

Ответ: \( (-9; 0) \).

Оцени решение