ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 869 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка CD с осью ординат, если С (2; 1), D (4; -3).

Краткий ответ:

Координаты середины отрезка \( M \left(\frac{2+4}{2}, \frac{1+(-3)}{2}\right) = (3, -1) \). Наклон прямой \( CD \) равен \( k = \frac{-3-1}{4-2} = -2 \), значит наклон перпендикуляра \( k_{\perp} = \frac{1}{2} \). Уравнение перпендикуляра: \( y = \frac{1}{2}x + b \), подставляем точку \( M \): \( -1 = \frac{1}{2} \cdot 3 + b \Rightarrow b = -\frac{5}{2} \). Пересечение с осью \( Oy \) при \( x=0 \): \( y = -\frac{5}{2} \). Ответ: \( (0; -\frac{5}{2}) \).

Подробный ответ:

Координаты середины отрезка \( M \) вычисляются по формулам \( x_M = \frac{x_C + x_D}{2} \) и \( y_M = \frac{y_C + y_D}{2} \). Подставляя значения точек \( C(2; 1) \) и \( D(4; -3) \), получаем \( x_M = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) и \( y_M = \frac{1 + (-3)}{2} = -1 \). Таким образом, \( M(3; -1) \).

Наклон прямой, проходящей через точки \( C \) и \( D \), равен \( k = \frac{y_D — y_C}{x_D — x_C} = \frac{-3 — 1}{4 — 2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Уравнение прямой \( CD \) имеет вид \( y = kx + b \). Подставим точку \( C(2; 1) \) для нахождения \( b \): \( 1 = -2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 5 \). Значит, уравнение прямой \( CD \) — \( y = -2x + 5 \).

Наклон серединного перпендикуляра к \( CD \) равен отрицательному обратному наклону \( CD \), то есть \( k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \).

Уравнение серединного перпендикуляра проходит через точку \( M(3; -1) \) и имеет вид \( y = k_{\perp} x + b_{\perp} \). Подставим \( M \) для нахождения \( b_{\perp} \): \( -1 = \frac{1}{2} \cdot 3 + b_{\perp} \Rightarrow b_{\perp} = -1 — \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} \).

Таким образом, уравнение серединного перпендикуляра: \( y = \frac{1}{2} x — \frac{5}{2} \).

Точка пересечения с осью \( Oy \) находится при \( x = 0 \). Подставляем в уравнение серединного перпендикуляра: \( y = \frac{1}{2} \cdot 0 — \frac{5}{2} = -\frac{5}{2} \).

Ответ: точка пересечения серединного перпендикуляра с осью \( Oy \) имеет координаты \( (0; -\frac{5}{2}) \).

Оцени решение