ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 87 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол \( A \) треугольника \( ABC \), если:

1) \( AC = 2 \) см, \( BC = 1 \) см, \( \angle B = 135^\circ \);

2) \( AC = \sqrt{2} \) см, \( BC = \sqrt{3} \) см, \( \angle B = 45^\circ \).

Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ обоснуйте.

Дано:
1) \( AC = 2 \), \( BC = 1 \), \( \angle B = 135^\circ \)
2) \( AC = \sqrt{2} \), \( BC = \sqrt{3} \), \( \angle B = 45^\circ \)

Используем теорему синусов:
\( \sin \angle A = \frac{BC \cdot \sin \angle B}{AC} \)

1)
\( \sin \angle A = \frac{1 \cdot \sin 135^\circ}{2} = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \angle A = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 21^\circ \)

2)
\( \sin \angle A = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \angle A = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 60^\circ \)
Второе решение:
\( \angle A = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \)

Ответ:
1) \( \approx 21^\circ \)
2) \( 60^\circ \), \( 120^\circ \)

Дано: \( AC = 2 \), \( BC = 1 \), \( \angle B = 135^\circ \). Нужно найти угол \( \angle A \).

Сначала вспомним теорему синусов: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Значит,
\( \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle A} \).

Отсюда выразим синус угла \( \angle A \):
\( \sin \angle A = \frac{BC \cdot \sin \angle B}{AC} \).

Подставим известные значения:
\( \sin \angle A = \frac{1 \cdot \sin 135^\circ}{2} \).

Вычислим \( \sin 135^\circ \). Так как \( 135^\circ = 180^\circ — 45^\circ \), то
\( \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Тогда
\( \sin \angle A = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).

Теперь найдём угол \( \angle A \) по формуле:
\( \angle A = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 21^\circ \).

Так как синус положителен в первом и втором квадрантах, возможны два значения:
\( \angle A \approx 21^\circ \) или \( \angle A \approx 180^\circ — 21^\circ = 159^\circ \).

Проверим, подходит ли второе значение. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит
\( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B \).

Если \( \angle A = 159^\circ \), то
\( \angle C = 180^\circ — 159^\circ — 135^\circ = -114^\circ \) — невозможно.

Значит единственный возможный ответ для первого случая:
\( \angle A \approx 21^\circ \).

Дано: \( AC = \sqrt{2} \), \( BC = \sqrt{3} \), \( \angle B = 45^\circ \). Нужно найти угол \( \angle A \).

Используем ту же формулу:
\( \sin \angle A = \frac{BC \cdot \sin \angle B}{AC} \).

Подставим значения:
\( \sin \angle A = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{2}} \).

Вычислим \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), тогда
\( \sin \angle A = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} \).

Сократим \( \sqrt{2} \) в числителе и знаменателе:
\( \sin \angle A = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Найдём угол \( \angle A \):
\( \angle A = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 60^\circ \).

Второе возможное значение:
\( \angle A = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).

Проверим сумму углов в треугольнике:
При \( \angle A = 60^\circ \),
\( \angle C = 180^\circ — 45^\circ — 60^\circ = 75^\circ \) — возможно.
При \( \angle A = 120^\circ \),
\( \angle C = 180^\circ — 45^\circ — 120^\circ = 15^\circ \) — возможно.

Ответ для второго случая:
\( \angle A = 60^\circ \) или \( \angle A = 120^\circ \).