ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 870 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-12; 6), В (0; 11), С (5; -1), D (-7; -6) является квадратом.

Краткий ответ:

Вычислим длины сторон: \(AB = BC = CD = DA = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} = 13\). Диагонали: \(AC = BD = \sqrt{338}\). Скалярное произведение диагоналей \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\), значит они перпендикулярны. Следовательно, \(ABCD\) — квадрат.

Подробный ответ:

Вычислим длину стороны \(AB\) по формуле расстояния между точками: \(AB = \sqrt{(0 — (-12))^{2} + (11 — 6)^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\).

Аналогично найдём длину стороны \(BC\): \(BC = \sqrt{(5 — 0)^{2} + (-1 — 11)^{2}} = \sqrt{5^{2} + (-12)^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

Длина стороны \(CD\): \(CD = \sqrt{(-7 — 5)^{2} + (-6 — (-1))^{2}} = \sqrt{(-12)^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{144 + 25}=\)
\( = \sqrt{169} = 13\).

Длина стороны \(DA\): \(DA = \sqrt{(-12 — (-7))^{2} + (6 — (-6))^{2}} = \sqrt{(-5)^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} =\)
\(= \sqrt{169} = 13\).

Все стороны равны, значит четырёхугольник равносторонний.

Вычислим длину диагонали \(AC\): \(AC = \sqrt{(5 — (-12))^{2} + (-1 — 6)^{2}} = \sqrt{17^{2} + (-7)^{2}} = \sqrt{289 + 49} = \sqrt{338}\).

Вычислим длину диагонали \(BD\): \(BD = \sqrt{(-7 — 0)^{2} + (-6 — 11)^{2}} = \sqrt{(-7)^{2} + (-17)^{2}} = \sqrt{49 + 289} = \sqrt{338}\).

Диагонали равны.

Найдём вектор диагонали \(AC\): \(\overrightarrow{AC} = (5 — (-12), -1 — 6) = (17, -7)\).

Найдём вектор диагонали \(BD\): \(\overrightarrow{BD} = (-7 — 0, -6 — 11) = (-7, -17)\).

Вычислим скалярное произведение: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 17 \times (-7) + (-7) \times (-17) = -119 + 119 = 0\).

Так как скалярное произведение равно нулю, диагонали перпендикулярны.

Все стороны равны, диагонали равны и перпендикулярны, следовательно, четырёхугольник \(ABCD\) является квадратом.

Оцени решение