ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 873 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки А (5; 1), В (9; -2), С (7; 2), — прямоугольный, и составьте уравнение окружности, описанной около него.
Длины сторон: \( AB = 5 \), \( BC = \sqrt{20} \), \( AC = \sqrt{5} \). Проверка: \( AB^2 = BC^2 + AC^2 \), значит треугольник прямоугольный. Центр окружности — середина гипотенузы \( M\left( \frac{5+9}{2}, \frac{1-2}{2} \right) = (7, -\frac{1}{2}) \). Радиус \( R = MA = 2,5 \). Уравнение окружности: \( (x — 7)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = 6,25 \).
Даны точки треугольника \( A(5; 1), B(9; -2), C(7; 2) \).
Вычислим длины сторон по формуле расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).
Длина стороны \( AB = \sqrt{(9 — 5)^2 + (-2 — 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).
Длина стороны \( BC = \sqrt{(7 — 9)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \).
Длина стороны \( AC = \sqrt{(7 — 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \).
Проверим теорему Пифагора: \( AB^2 = BC^2 + AC^2 \), то есть \( 25 = 20 + 5 \), что верно. Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине \( C \).
Для описанной окружности центр находится в середине гипотенузы \( AB \). Найдем координаты середины \( M \): \( x_M = \frac{5 + 9}{2} = 7 \), \( y_M = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} \).
Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра \( M \) до любой вершины, например, до \( A \): \( R = \sqrt{(7 — 5)^2 + \left(-\frac{1}{2} — 1\right)^2} = \sqrt{2^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{9}{4}}=\)
\( = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5 \).
Уравнение описанной окружности с центром \( M(7; -\frac{1}{2}) \) и радиусом \( R = 2,5 \) имеет вид: \( (x — 7)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = (2,5)^2 = 6,25 \).
