ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 874 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Установите, является ли отрезок CD диаметром окружности \((x + 2)^2 + (y — 3)^2 = 52\), если С (-8; 7), D (4; -1).

Краткий ответ:

Центр окружности \( (-2, 3) \), радиус \( r = \sqrt{52} \). Точки \( C(-8, 7) \) и \( D(4, -1) \) лежат на окружности, так как выполняется равенство \( (x+2)^2 + (y-3)^2 = 52 \). Середина отрезка \( CD \) равна \( \left( \frac{-8+4}{2}, \frac{7+(-1)}{2} \right) = (-2, 3) \), совпадая с центром окружности. Значит, \( CD \) — диаметр окружности. Ответ: да.

Подробный ответ:

Уравнение окружности задано как \( (x + 2)^2 + (y — 3)^2 = 52 \). Центр окружности находится в точке \( (-2, 3) \), а радиус равен \( \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \).

Подставим координаты точки \( C(-8, 7) \) в уравнение окружности: \( (-8 + 2)^2 + (7 — 3)^2 = (-6)^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \), что совпадает с радиусом в квадрате, значит точка \( C \) лежит на окружности.

Аналогично, подставим координаты точки \( D(4, -1) \): \( (4 + 2)^2 + (-1 — 3)^2 = 6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52 \), следовательно, точка \( D \) тоже лежит на окружности.

Вычислим координаты середины отрезка \( CD \): \( x_M = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \), \( y_M = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Середина отрезка \( CD \) совпадает с центром окружности \( (-2, 3) \). Поскольку концы отрезка лежат на окружности, а его середина совпадает с центром, отрезок \( CD \) является диаметром окружности.

Оцени решение