ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 875 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит оси ординат, проходит через точки А (1; 2) и В (3; 6). Принадлежит ли этой окружности точка С (-3; 4)?

Центр окружности \(O(0; y)\) равен по расстоянию до точек \(A\) и \(B\):
\(\sqrt{1^2 + (y — 2)^2} = \sqrt{3^2 + (y — 6)^2}\), откуда \(y = 5\).
Радиус \(r = \sqrt{1^2 + (5 — 2)^2} = \sqrt{10}\).
Уравнение окружности: \(x^2 + (y — 5)^2 = 10\).
Подставляем точку \(C(-3; 4)\): \((-3)^2 + (4 — 5)^2 = 9 + 1 = 10\).
Ответ: да.

Центр окружности \(O\) лежит на оси ординат, значит его координаты \(O(0; y)\). Окружность проходит через точки \(A(1; 2)\) и \(B(3; 6)\), поэтому расстояния от центра до этих точек равны:
\(\sqrt{(1 — 0)^2 + (2 — y)^2} = \sqrt{(3 — 0)^2 + (6 — y)^2}\).

Возводим обе части в квадрат:
\(1^2 + (2 — y)^2 = 3^2 + (6 — y)^2\), что даёт
\(1 + (2 — y)^2 = 9 + (6 — y)^2\).

Раскрываем скобки:
\(1 + y^2 — 4y + 4 = 9 + y^2 — 12y + 36\).

Сокращаем одинаковые члены \(y^2\) с обеих сторон:
\(1 — 4y + 4 = 9 — 12y + 36\).

Складываем числа:
\(5 — 4y = 45 — 12y\).

Переносим все члены в одну сторону:
\(-4y + 12y = 45 — 5\),
\(8y = 40\),
откуда \(y = \frac{40}{8} = 5\).

Таким образом, центр окружности \(O\) имеет координаты \(O(0; 5)\).

Рассчитаем радиус окружности, используя расстояние от центра до точки \(A\):
\(r = \sqrt{(1 — 0)^2 + (2 — 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\).

Уравнение окружности с центром \(O(0; 5)\) и радиусом \(r = \sqrt{10}\) записывается как
\(x^2 + (y — 5)^2 = 10\).

Проверяем принадлежность точки \(C(-3; 4)\) окружности, подставляя координаты в уравнение:
\((-3)^2 + (4 — 5)^2 = 9 + 1 = 10\).

Так как левая часть равна правой, точка \(C\) принадлежит окружности.