ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 881 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки А (-3; -2) и В (2; 5).
Середина отрезка \( M \left( \frac{-3 + 2}{2}, \frac{-2 + 5}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \).
Угол наклона прямой \( AB \) равен \( k = \frac{5 — (-2)}{2 — (-3)} = \frac{7}{5} \).
Коэффициент перпендикуляра \( k_{\perp} = -\frac{5}{7} \).
Уравнение перпендикуляра через \( M \):
\( y — \frac{3}{2} = -\frac{5}{7} \left( x + \frac{1}{2} \right) \),
приводим к виду \( 5x + 7y = 8 \).
Даны точки \( A(-3; -2) \) и \( B(2; 5) \).
Сначала найдём координаты середины отрезка \( AB \). Для этого вычислим среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( B \):
\( x_M = \frac{-3 + 2}{2} = \frac{-1}{2} \),
\( y_M = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} \).
Таким образом, середина отрезка \( M \) имеет координаты \( \left( -\frac{1}{2}; \frac{3}{2} \right) \).
Далее найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \( A \) и \( B \):
\( k = \frac{5 — (-2)}{2 — (-3)} = \frac{7}{5} \).
Уравнение прямой \( AB \) можно записать в виде \( y = kx + b \).
Подставим координаты точки \( A(-3; -2) \) для нахождения \( b \):
\( -2 = \frac{7}{5} \cdot (-3) + b \),
\( -2 = -\frac{21}{5} + b \),
\( b = -2 + \frac{21}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{21}{5} = \frac{11}{5} \).
Итого уравнение прямой \( AB \):
\( y = \frac{7}{5}x + \frac{11}{5} \).
Для определения уравнения серединного перпендикуляра к отрезку \( AB \) найдём угловой коэффициент перпендикуляра:
\( k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{5}{7} \).
Уравнение прямой, проходящей через точку \( M \) с угловым коэффициентом \( k_{\perp} \), записывается так:
\( y — \frac{3}{2} = -\frac{5}{7} \left( x + \frac{1}{2} \right) \).
Раскроем скобки:
\( y — \frac{3}{2} = -\frac{5}{7} x — \frac{5}{14} \).
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:
\( y = -\frac{5}{7} x — \frac{5}{14} + \frac{3}{2} \).
Приведём дроби к общему знаменателю 14:
\( \frac{3}{2} = \frac{21}{14} \),
поэтому
\( y = -\frac{5}{7} x + \frac{21}{14} — \frac{5}{14} = -\frac{5}{7} x + \frac{16}{14} = -\frac{5}{7} x + \frac{8}{7} \).
Домножим обе части уравнения на 7 для избавления от знаменателей:
\( 7y = -5x + 8 \).
Перенесём все слагаемые в левую часть:
\( 5x + 7y = 8 \).
Таким образом, уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \( A \) и \( B \), равно \( 5x + 7y = 8 \).
