ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 883 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О (рис. 286). Выразите векторы CD и AD через векторы СО = a и ОВ = b.
Векторы диагоналей параллелограмма пересекаются в точке \(O\), поэтому \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OD} = \vec{a} — \vec{b} \), так как \( \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{BO} \). Вектор \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = \vec{b} — \vec{a} = -\vec{a} — \vec{b} \). Ответ: \( \overrightarrow{CD} = \vec{a} — \vec{b} \), \( \overrightarrow{AD} = -\vec{a} — \vec{b} \).
Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). По свойству параллелограмма точка \(O\) является серединой обеих диагоналей, следовательно, \(O\) делит каждую диагональ на два равных вектора.
Дано, что \( \overrightarrow{CO} = \vec{a} \) и \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \). Поскольку \(O\) — середина диагонали \(BD\), то вектор \( \overrightarrow{BO} \) равен по длине и противоположен по направлению вектору \( \overrightarrow{OD} \), то есть \( \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{BO} = -\vec{b} \).
Вектор \( \overrightarrow{CD} \) можно представить как сумму двух векторов: \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OD} \). Подставляя известные значения, получаем \( \overrightarrow{CD} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} — \vec{b} \).
Теперь рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AD} \). В параллелограмме вектор \( \overrightarrow{AD} \) равен сумме векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BD} \), то есть \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \). Но проще выразить \( \overrightarrow{AD} \) через векторы, исходящие из точки \(B\), поскольку \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) и \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OD} \).
Вектор \( \overrightarrow{BC} \) равен \( \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} \). Известно, что \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \), значит \( \overrightarrow{BO} = -\vec{b} \), а \( \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{CO} = -\vec{a} \). Следовательно, \( \overrightarrow{BC} = -\vec{b} + (-\vec{a}) = -\vec{a} — \vec{b} \).
Поскольку \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), имеем \( \overrightarrow{AD} = -\vec{a} — \vec{b} \).
Итого, выражения для векторов:
| \( \overrightarrow{CD} \) | = | \( \vec{a} — \vec{b} \) |
| \( \overrightarrow{AD} \) | = | \( -\vec{a} — \vec{b} \) |
