ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 887 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На сторонах ВС и CD параллелограм- ма ABCD отмечены точки М и К соответственно, причём ВМ = 1 вс, СК = = CD (рис. 288). Выразите:

1) векторы АМ и АК через векторы AB = a H AD = b;

2) векторы АВ и AD через векторы АМ = m и АК = n.

Краткий ответ:

1) \( \vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \), \( \vec{AK} = \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{a} \)

2) \( \vec{a} = \frac{6}{5} \vec{m} — \frac{3}{10} \vec{n} \), \( \vec{b} = \frac{6}{5} \vec{n} — \frac{4}{5} \vec{m} \)

Подробный ответ:

Пусть \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{AD} \).

Точка \( M \) лежит на стороне \( BC \), причем \( BM = \frac{1}{4} BC \). Вектор \( \vec{BC} \) равен \( \vec{AD} = \vec{b} \) (так как \( ABCD \) — параллелограмм). Тогда \( \vec{BM} = \frac{1}{4} \vec{b} \). Вектор \( \vec{AM} \) можно представить как сумму \( \vec{AB} \) и \( \vec{BM} \): \( \vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \).

Точка \( K \) лежит на стороне \( CD \), причем \( CK = \frac{1}{3} CD \). Вектор \( \vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a} \). Тогда \( \vec{CK} = \frac{1}{3} (-\vec{a}) = -\frac{1}{3} \vec{a} \). Вектор \( \vec{DK} = \vec{DC} + \vec{CK} = -\vec{CD} + \vec{CK} = \vec{a} — \frac{1}{3} \vec{a} = \frac{2}{3} \vec{a} \). Вектор \( \vec{AK} = \vec{AD} + \vec{DK} = \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{a} \).

Итак, получили: \( \vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \), \( \vec{AK} = \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{a} \).

Обозначим \( \vec{AM} = \vec{m} \), \( \vec{AK} = \vec{n} \). Тогда \( \vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \), \( \vec{n} = \frac{2}{3} \vec{a} + \vec{b} \).

Выразим \( \vec{a} \) из первого уравнения: \( \vec{a} = \vec{m} — \frac{1}{4} \vec{b} \).

Подставим в второе уравнение: \( \vec{n} = \frac{2}{3} \left( \vec{m} — \frac{1}{4} \vec{b} \right) + \vec{b} = \frac{2}{3} \vec{m} — \frac{2}{12} \vec{b} + \vec{b} = \frac{2}{3} \vec{m} + \frac{10}{12} \vec{b} \).

Отсюда \( \vec{n} — \frac{2}{3} \vec{m} = \frac{5}{6} \vec{b} \), следовательно \( \vec{b} = \frac{6}{5} \left( \vec{n} — \frac{2}{3} \vec{m} \right) = \frac{6}{5} \vec{n} — \frac{12}{15} \vec{m} = \frac{6}{5} \vec{n} — \frac{4}{5} \vec{m} \).

Подставим \( \vec{b} \) в выражение для \( \vec{a} \): \( \vec{a} = \vec{m} — \frac{1}{4} \left( \frac{6}{5} \vec{n} — \frac{4}{5} \vec{m} \right) = \vec{m} — \frac{6}{20} \vec{n} + \frac{4}{20} \vec{m} = \frac{24}{20} \vec{m} — \frac{6}{20} \vec{n} = \frac{6}{5} \vec{m} — \frac{3}{10} \vec{n} \).

Ответ: \( \vec{a} = \frac{6}{5} \vec{m} — \frac{3}{10} \vec{n} \), \( \vec{b} = \frac{6}{5} \vec{n} — \frac{4}{5} \vec{m} \).

Оцени решение