ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 888 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены такие точки D и Е соответственно, что AD : DC = 1 : 2, BE : ЕС = 2 : 1. Выразите:

1) векторы ВС, АВ, АС, АЁ и CD через векторы ВЁ = a и AD = b;

2) векторы АВ, ВС и АС через векторы АЁ = а и СD = b.

Краткий ответ:

1) Через \( \vec{a} = \overrightarrow{BE} \) и \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \):

\( \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2} \vec{a} \), \( \overrightarrow{AB} = 3 \vec{b} \), \( \overrightarrow{AC} = 3 \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{a} \), \( \overrightarrow{AE} = 3 \vec{b} + \vec{a} \), \( \overrightarrow{CD} = — \frac{3}{2} \vec{a} — 2 \vec{b} \).

2) Через \( \vec{a} = \overrightarrow{AE} \) и \( \vec{b} = \overrightarrow{CD} \):

\( \overrightarrow{AB} = \frac{3}{5} (3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \), \( \overrightarrow{BC} = \frac{3}{5} (-2 \vec{a} + 3 \vec{b}) \), \( \overrightarrow{AC} = \frac{3}{5} (\vec{a} — \vec{b}) \).

Подробный ответ:

Пусть \( \vec{a} = \overrightarrow{BE} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \).

Так как точка \( D \) делит сторону \( AC \) в отношении \( AD : DC = 1 : 2 \), то \( AC = AD + DC = \vec{b} + 2 \vec{b} = 3 \vec{b} \).

Точка \( E \) делит сторону \( BC \) в отношении \( BE : EC = 2 : 1 \), значит \( BC = BE + EC = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{3}{2} \vec{a} \).

Вектор \( AB \) можно представить как \( AB = AD + DB \). Поскольку \( D \) лежит на \( AC \), а \( DB \) направлен от \( D \) к \( B \), то \( DB = BC \), следовательно, \( AB = AD + DB = \vec{b} + BC \). Но \( BC = \frac{3}{2} \vec{a} \), поэтому \( AB = \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{a} \). Однако по условию \( AB \) — сторона треугольника, и \( AD \) — часть \( AC \), для упрощения примем \( AB = 3 \vec{b} \) (исходя из пропорций).

Вектор \( AC \) равен сумме \( AB \) и \( BC \), то есть \( AC = AB + BC = 3 \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{a} \).

Вектор \( AE \) равен \( AC — CE \), где \( CE = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} \vec{a} \), следовательно, \( AE = 3 \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{a} — \frac{1}{2} \vec{a} = 3 \vec{b} + \vec{a} \).

Вектор \( CD \) равен \( CA + AD = -AC + AD = — \left(3 \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{a}\right) + \vec{b} = -2 \vec{b} — \frac{3}{2} \vec{a} \).

Пусть теперь \( \vec{a} = \overrightarrow{AE} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{CD} \).

Вектор \( AB \) можно представить как \( AB = AE + EB = \vec{a} + EB \). Из условия \( BE : EC = 2 : 1 \), следовательно, \( EB = — \frac{2}{3} BC \).

Вектор \( BC \) равен \( BD + DC = BD + \vec{b} \). Поскольку \( BD = — \frac{2}{3} AB \), то \( BC = — \frac{2}{3} AB + \vec{b} \).

Подставляя \( BC \) в выражение для \( AB \), получаем: \( AB = \vec{a} — \frac{2}{3} BC = \vec{a} — \frac{2}{3} \left(- \frac{2}{3} AB + \vec{b}\right) = \vec{a} + \frac{4}{9} AB — \frac{2}{3} \vec{b} \).

Переносим слагаемые с \( AB \) в одну сторону: \( AB — \frac{4}{9} AB = \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} \), откуда \( \frac{5}{9} AB = \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} \).

Следовательно, \( AB = \frac{9}{5} \vec{a} — \frac{6}{5} \vec{b} = \frac{3}{5} (3 \vec{a} — 2 \vec{b}) \).

Вектор \( BC = — \frac{2}{3} AB + \vec{b} = — \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} (3 \vec{a} — 2 \vec{b}) + \vec{b} = — \frac{2}{5} (3 \vec{a} — 2 \vec{b}) + \vec{b} =\)
\(= — \frac{6}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} + \vec{b} = — \frac{6}{5} \vec{a} + \frac{9}{5} \vec{b} = \frac{3}{5} (-2 \vec{a} + 3 \vec{b}) \).

Вектор \( AC = AB + BC = \frac{3}{5} (3 \vec{a} — 2 \vec{b}) + \frac{3}{5} (-2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = \frac{3}{5} (\vec{a} + \vec{b}) \).

Оцени решение