ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 892 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите косинусы углов треугольника АВС, если А (-3; 4), В (2; 3), С (3; 5). Установите вид треугольника.

Краткий ответ:

Даны точки \(A(-3; -4)\), \(B(2; -3)\), \(C(3; 5)\).

Векторы:
\(\overrightarrow{AB} = (5; 1), |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{26}\)
\(\overrightarrow{BC} = (1; 8), |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{65}\)
\(\overrightarrow{AC} = (6; 9), |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{117}\)

Косинусы углов:
\(\cos \angle A = \frac{5 \cdot 6 + 1 \cdot 9}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{117}} = \frac{39}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{117}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos \angle B = \frac{-5 \cdot 1 — 1 \cdot 8}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{65}} = \frac{-13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{65}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}\)
\(\cos \angle C = \frac{6 \cdot 1 + 9 \cdot 8}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{65}} = \frac{78}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{65}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}\)

Треугольник тупоугольный.

Подробный ответ:

Даны точки \(A(-3; -4)\), \(B(2; -3)\), \(C(3; 5)\).

Вычислим координаты векторов:
\(\overrightarrow{AB} = (2 — (-3); -3 — (-4)) = (5; 1)\),
\(\overrightarrow{BC} = (3 — 2; 5 — (-3)) = (1; 8)\),
\(\overrightarrow{AC} = (3 — (-3); 5 — (-4)) = (6; 9)\).

Найдём длины векторов:
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\),
\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^{2} + 8^{2}} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}\),
\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^{2} + 9^{2}} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}\).

Вычислим скалярные произведения для углов:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot 6 + 1 \cdot 9 = 30 + 9 = 39\),
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-5) \cdot 1 + (-1) \cdot 8 = -5 — 8 = -13\),
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-6) \cdot (-1) + (-9) \cdot (-8) = 6 + 72 = 78\).

Найдём косинусы углов:
\(\cos \angle A = \frac{39}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{117}} = \frac{39}{\sqrt{3042}}\),
\(\cos \angle B = \frac{-13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{65}} = \frac{-13}{\sqrt{1690}}\),
\(\cos \angle C = \frac{78}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{65}} = \frac{78}{\sqrt{7605}}\).

Вычислим приближённые значения:
\(\sqrt{26} \approx 5.099\), \(\sqrt{117} \approx 10.816\), \(\sqrt{65} \approx 8.062\),
\(\cos \angle A \approx \frac{39}{5.099 \times 10.816} = \frac{39}{55.15} \approx 0.707\),
\(\cos \angle B \approx \frac{-13}{5.099 \times 8.062} = \frac{-13}{41.1} \approx -0.316\),
\(\cos \angle C \approx \frac{78}{10.816 \times 8.062} = \frac{78}{87.17} \approx 0.895\).

Угол при вершине \(B\) имеет отрицательный косинус, значит он тупой, следовательно треугольник тупоугольный.

Оцени решение