ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 894 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите косинус угла между векторами d = 3m + n и Ђ = m 27, если \(|m| = |n| = 1\) и \(m \perp n\).

Даны векторы \( \vec{a} = 3\vec{m} + \vec{n} \) и \( \vec{b} = \vec{m} — 2\vec{n} \), где \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \) и \( \vec{m} \perp \vec{n} \).

Скалярное произведение: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 — 2 \cdot 1 = 1 \).

Длины векторов: \( |\vec{a}| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \), \( |\vec{b}| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \).

Косинус угла: \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \).

Даны векторы \( \vec{a} = 3\vec{m} + \vec{n} \) и \( \vec{b} = \vec{m} — 2\vec{n} \), где \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \) и \( \vec{m} \perp \vec{n} \).

Для начала вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \). Раскроем скобки: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} — 2\vec{n}) = 3\vec{m} \cdot \vec{m} — 6\vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{m} — 2\vec{n} \cdot \vec{n} \).

Так как \( \vec{m} \perp \vec{n} \), то \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0 \). Также \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \), значит \( \vec{m} \cdot \vec{m} = 1 \) и \( \vec{n} \cdot \vec{n} = 1 \).

Подставим эти значения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 — 6 \cdot 0 + 0 — 2 \cdot 1 = 3 — 2 = 1 \).

Далее найдём длины векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Для \( \vec{a} \) это будет: \( |\vec{a}| = \sqrt{(3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \).

Для \( \vec{b} \) длина равна: \( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \).

Теперь найдём косинус угла между векторами, используя формулу скалярного произведения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \).

Подставим известные значения: \( 1 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos \theta = \sqrt{50} \cdot \cos \theta = 5 \sqrt{2} \cdot \cos \theta \).

Отсюда следует, что \( \cos \theta = \frac{1}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \).