ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 895 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны векторы а (2; 4) и Ъ (-1; 1). Найдите:
1) \(|a b|\); 2) \(|2a + b|\).

Даны векторы \( \vec{a} = (2; -4) \), \( \vec{b} = (-1; 1) \).

1) \( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (-4 — 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \).

2) \( |2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(2 \cdot 2 + (-1))^2 + (2 \cdot (-4) + 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49}=\)
\( = \sqrt{58} \).

Для вычисления длины вектора \( \vec{a} — \vec{b} \) сначала необходимо найти координаты этого вектора. Вектор \( \vec{a} = (2; -4) \), а вектор \( \vec{b} = (-1; 1) \). Чтобы найти разность двух векторов, вычитаем соответствующие компоненты: по оси \( x \) это будет \( 2 — (-1) \), а по оси \( y \) — \( -4 — 1 \). Выполним вычисления: \( 2 — (-1) = 2 + 1 = 3 \), и \( -4 — 1 = -5 \). Таким образом, координаты вектора \( \vec{a} — \vec{b} \) равны \( (3; -5) \).

Длина вектора — это расстояние от начала координат до точки с координатами вектора. Она вычисляется по формуле длины вектора в двумерном пространстве как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Для вектора \( (3; -5) \) длина будет равна \( \sqrt{3^2 + (-5)^2} \). Возводим в квадрат каждую координату: \( 3^2 = 9 \), \( (-5)^2 = 25 \). Складываем полученные значения: \( 9 + 25 = 34 \). Теперь извлекаем квадратный корень из суммы: \( \sqrt{34} \). Это и есть длина вектора \( \vec{a} — \vec{b} \).

Для нахождения длины вектора \( 2\vec{a} + \vec{b} \) сначала умножим вектор \( \vec{a} \) на число 2. Координаты вектора \( \vec{a} \) равны \( (2; -4) \), поэтому умножаем каждую координату на 2: \( 2 \cdot 2 = 4 \), \( 2 \cdot (-4) = -8 \). Получаем вектор \( (4; -8) \). Далее прибавим к этому вектору вектор \( \vec{b} = (-1; 1) \), складывая соответствующие компоненты: \( 4 + (-1) = 3 \), \( -8 + 1 = -7 \). Таким образом, вектор \( 2\vec{a} + \vec{b} \) имеет координаты \( (3; -7) \).

Длина этого вектора вычисляется аналогично предыдущему: \( \sqrt{3^2 + (-7)^2} \). Возводим в квадрат каждую координату: \( 3^2 = 9 \), \( (-7)^2 = 49 \). Складываем: \( 9 + 49 = 58 \). Извлекаем квадратный корень: \( \sqrt{58} \). Это и есть длина вектора \( 2\vec{a} + \vec{b} \).