ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 896 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром М (0; 4) в точке А (5; 3).

Коэффициент радиуса \( k = \frac{y_A — y_M}{x_A — x_M} = \frac{-3 — (-4)}{5 — 0} = \frac{1}{5} \).

Коэффициент касательной \( k_{\text{кас}} = -\frac{1}{k} = -5 \).

Подставляем точку \( A(5; -3) \) в уравнение касательной \( y = -5x + b \):

\(-3 = -5 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 22\).

Ответ: уравнение касательной \( 5x + y = 22 \).

Даны точки центра окружности \( M(0; -4) \) и точки касания \( A(5; -3) \).

Сначала найдём коэффициент углового наклона радиуса \( MA \) по формуле \( k = \frac{y_A — y_M}{x_A — x_M} \). Подставляем значения: \( k = \frac{-3 — (-4)}{5 — 0} = \frac{1}{5} \).

Уравнение прямой радиуса можно записать в виде \( y = kx + b \). Подставим координаты центра \( M(0; -4) \) для нахождения \( b \): \( -4 = \frac{1}{5} \cdot 0 + b \), откуда \( b = -4 \). Значит уравнение радиуса: \( y = \frac{1}{5}x — 4 \).

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, следовательно её коэффициент наклона равен отрицательному обратному значению \( k \): \( k_{\text{кас}} = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{\frac{1}{5}} = -5 \).

Уравнение касательной запишем в виде \( y = k_{\text{кас}} x + b \), то есть \( y = -5x + b \).

Подставим координаты точки касания \( A(5; -3) \) для нахождения \( b \): \( -3 = -5 \cdot 5 + b \), откуда \( b = -3 + 25 = 22 \).

Итоговое уравнение касательной: \( y = -5x + 22 \), или в общем виде \( 5x + y = 22 \).