ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 900 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 289 CB = CD, \(LACB = LACD\). Докажите, что точки В и D симметричны относительно прямой АС.

Дано: \(CB=CD\), \(\angle ACB = \angle ACD\).

Пусть \(H\) — проекция точки \(B\) на \(AC\), то есть \(H \in BD \cap AC\).

В треугольнике \(BCD\) равнобедренном с основанием \(BD\) углы \(\angle BCH = 180^\circ — \angle ACB\) и \(\angle DCH = 180^\circ — \angle ACD = \angle BCH\).

Значит, \(CH\) — высота и медиана, то есть \(CH \perp BD\) и \(BH = DH\).

Следовательно, \(B\) — образ точки \(D\) при отражении относительно прямой \(AC\). Что и требовалось доказать.

Пусть \(H\) — проекция точки \(B\) на прямую \(AC\), то есть \(H\) — точка пересечения отрезка \(BD\) с прямой \(AC\). Тогда \(H \in AC\) и \(BH \perp AC\).

Так как \(CB = CD\), треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(BD\). Следовательно, высота, опущенная из вершины \(C\), будет одновременно медианой и биссектрисой.

Углы при вершине \(C\) равны: \(\angle ACB = \angle ACD\). Значит, углы при \(C\) в треугольнике \(BCD\) относительно \(H\) также равны: \(\angle BCH = 180^\circ — \angle ACB\) и \(\angle DCH = 180^\circ — \angle ACD\), то есть \(\angle BCH = \angle DCH\).

Из равенства углов следует, что \(CH\) — высота и медиана, то есть \(CH \perp BD\) и \(BH = DH\).

Поскольку \(BH = DH\) и \(H \in AC\), прямая \(AC\) является осью симметрии для отрезка \(BD\).

Следовательно, точка \(B\) является образом точки \(D\) при отражении относительно прямой \(AC\).