ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 903 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны луч ОА и точка В, ему не принадлежащая. Постройте луч, симметричный данному относительно точки В.

Пусть \(O\) и \(A\) — точки луча, \(B\) — точка симметрии. Тогда точки \(O’\) и \(A’\) симметричны \(O\) и \(A\) относительно \(B\) и находятся по формулам:
\(O’ = 2B — O\), \(A’ = 2B — A\). Луч \(O’A’\) — искомый, симметричный лучу \(OA\) относительно точки \(B\).

Пусть даны луч \(OA\) и точка \(B\), не лежащая на этом луче. Нужно построить луч, симметричный \(OA\) относительно точки \(B\).

Для начала рассмотрим, что симметрия относительно точки \(B\) означает отображение каждой точки \(P\) в точку \(P’\), такую что \(B\) — середина отрезка \(PP’\). Это можно записать как \(P’ = 2B — P\).

Применим это к точкам \(O\) и \(A\), задающим исходный луч \(OA\). Найдем точки \(O’\) и \(A’\), симметричные \(O\) и \(A\) относительно \(B\):
\(O’ = 2B — O\)
\(A’ = 2B — A\)

Поскольку \(OA\) — луч с началом в \(O\) и направлением через \(A\), то симметричный ему луч будет иметь начальную точку \(O’\) и проходить через \(A’\). Таким образом, искомый луч — это луч \(O’A’\).

Если представить координаты точек, например, \(O = (x_O, y_O)\), \(A = (x_A, y_A)\), \(B = (x_B, y_B)\), то
\(O’ = (2x_B — x_O, 2y_B — y_O)\)
\(A’ = (2x_B — x_A, 2y_B — y_A)\)

Построение луча \(O’A’\) происходит аналогично исходному лучу: от точки \(O’\) через точку \(A’\) и далее в том же направлении.

Таким образом, луч \(O’A’\) является симметричным лучу \(OA\) относительно точки \(B\).