ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 906 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны точки К и О. Постройте точку К1, являющуюся образом точки К при повороте вокруг точки О: 1) на угол 130° против часовой стрелки; 2) на угол 40° по часовой стрелке.
Координаты \(K = (3,7)\), \(O = (6,3)\).
Вектор \(\overrightarrow{OK} = (3-6, 7-3) = (-3, 4)\).
1) Поворот на 130° против часовой стрелки:
\(\cos 130^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.6428\), \(\sin 130^\circ = \frac{1}{2} \approx 0.7660\).
\(x’ = -3 \cdot (-0.6428) — 4 \cdot 0.7660 = 1.9284 — 3.064 = -1.1356\)
\(y’ = -3 \cdot 0.7660 + 4 \cdot (-0.6428) = -2.298 — 2.571 = -4.869\)
Координаты \(K’ = (6 — 1.1356, 3 — 4.869) = (4.864, -1.869)\).
2) Поворот на 40° по часовой стрелке (угол -40° против часовой):
\(\cos (-40^\circ) = \cos 40^\circ = 0.7660\), \(\sin (-40^\circ) = -\sin 40^\circ = -0.6428\).
\(x’ = -3 \cdot 0.7660 — 4 \cdot (-0.6428) = -2.298 + 2.571 = 0.273\)
\(y’ = -3 \cdot (-0.6428) + 4 \cdot 0.7660 = 1.928 + 3.064 = 4.992\)
Координаты \(K’ = (6 + 0.273, 3 + 4.992) = (6.273, 7.992)\).
Координаты точки \(K\) равны \( (3, 7) \), координаты точки \(O\) равны \( (6, 3) \).
Вычислим вектор \(\overrightarrow{OK}\) как разность координат: \(\overrightarrow{OK} = (3 — 6, 7 — 3) = (-3, 4)\).
Для поворота вектора вокруг точки \(O\) на угол \(\theta\) используем формулы поворота:
\(x’ = x \cos \theta — y \sin \theta\)
\(y’ = x \sin \theta + y \cos \theta\)
где \((x, y)\) — координаты вектора \(\overrightarrow{OK}\).
Поворот на 130° против часовой стрелки.
Вычислим значения тригонометрических функций:
\(\cos 130^\circ = \cos (180^\circ — 50^\circ) = -\cos 50^\circ \approx -0.6428\)
\(\sin 130^\circ = \sin (180^\circ — 50^\circ) = \sin 50^\circ \approx 0.7660\)
Подставим в формулы:
\(x’ = -3 \cdot (-0.6428) — 4 \cdot 0.7660 = 1.9284 — 3.064 = -1.1356\)
\(y’ = -3 \cdot 0.7660 + 4 \cdot (-0.6428) = -2.298 — 2.571 = -4.869\)
Новые координаты точки после поворота:
\(K’ = (6 + x’, 3 + y’) = (6 — 1.1356, 3 — 4.869) = (4.864, -1.869)\).
Поворот на 40° по часовой стрелке.
Поворот по часовой стрелке на 40° эквивалентен повороту против часовой стрелки на \(-40^\circ\).
Вычислим тригонометрические функции:
\(\cos (-40^\circ) = \cos 40^\circ \approx 0.7660\)
\(\sin (-40^\circ) = -\sin 40^\circ \approx -0.6428\)
Подставим в формулы:
\(x’ = -3 \cdot 0.7660 — 4 \cdot (-0.6428) = -2.298 + 2.571 = 0.273\)
\(y’ = -3 \cdot (-0.6428) + 4 \cdot 0.7660 = 1.928 + 3.064 = 4.992\)
Новые координаты точки после поворота:
\(K’ = (6 + x’, 3 + y’) = (6 + 0.273, 3 + 4.992) = (6.273, 7.992)\).
