ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 907 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Даны отрезок АВ и точка О, ему не принадлежащая. Постройте отрезок А,В1, являющийся образом отрезка АВ при повороте на угол 50° вокруг точки О по часовой стрелке.

Краткий ответ:

Пусть \( \vec{OA} = (x_A — x_O, y_A — y_O) \), \( \vec{OB} = (x_B — x_O, y_B — y_O) \). Поворот на угол \( 50^\circ \) по часовой стрелке задаётся формулой:
\( \vec{OA’} = ( (x_A — x_O) \cos 50^\circ + (y_A — y_O) \sin 50^\circ, \;\)
\( -(x_A — x_O) \sin 50^\circ + (y_A — y_O) \cos 50^\circ ) \),
\( \vec{OB’} = ( (x_B — x_O) \cos 50^\circ + (y_B — y_O) \sin 50^\circ, \;\)
\( -(x_B — x_O) \sin 50^\circ + (y_B — y_O) \cos 50^\circ ) \).
Тогда новые точки:
\( A’ = (x_O + x_{A’}, y_O + y_{A’}) \), \( B’ = (x_O + x_{B’}, y_O + y_{B’}) \).
Отрезок \( A’B’ \) — образ отрезка \( AB \) после поворота на \( 50^\circ \) по часовой стрелке вокруг \( O \).

Подробный ответ:

Пусть координаты точек \(A\), \(B\) и \(O\) заданы как \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\), \(O(x_O, y_O)\). Для поворота отрезка \(AB\) вокруг точки \(O\) на угол \(50^\circ\) по часовой стрелке необходимо преобразовать координаты точек \(A\) и \(B\).

Сначала выразим векторы от точки \(O\) к точкам \(A\) и \(B\):
\( \vec{OA} = (x_A — x_O, y_A — y_O) \),
\( \vec{OB} = (x_B — x_O, y_B — y_O) \).

Поворот на угол \( \theta = 50^\circ \) по часовой стрелке задаётся матрицей поворота:
\( R = \begin{pmatrix} \cos 50^\circ & \sin 50^\circ \\ -\sin 50^\circ & \cos 50^\circ \end{pmatrix} \).

Применим эту матрицу к векторам \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \), получая новые векторы:
\( \vec{OA’} = ( (x_A — x_O) \cos 50^\circ + (y_A — y_O) \sin 50^\circ, \;\)
\( -(x_A — x_O) \sin 50^\circ + (y_A — y_O) \cos 50^\circ ) \),
\( \vec{OB’} = ( (x_B — x_O) \cos 50^\circ + (y_B — y_O) \sin 50^\circ, \;\)
\( -(x_B — x_O) \sin 50^\circ + (y_B — y_O) \cos 50^\circ ) \).

Новые координаты точек \(A’\) и \(B’\) после поворота находятся сложением координат точки \(O\) и соответствующих векторов:
\( A’ = (x_O + x_{A’}, y_O + y_{A’}) \),
\( B’ = (x_O + x_{B’}, y_O + y_{B’}) \).

Таким образом, отрезок \(A’B’\) является образом отрезка \(AB\) после поворота на \(50^\circ\) по часовой стрелке вокруг точки \(O\).

Оцени решение