ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 908 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На какой угол надо повернуть прямоугольник вокруг его центра симметрии, чтобы его образом был этот же прямоугольник?

Поворот прямоугольника вокруг центра симметрии \(O\) на угол \(180^\circ\) переводит вершины \(A \to C\), \(B \to D\), \(C \to A\), \(D \to B\), поэтому фигура совпадает сама с собой. Ответ: 180°

Построим прямоугольник \(ABCD\) и обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), которая является центром симметрии прямоугольника.

В прямоугольнике \(ABCD\) выполняются равенства \(AO = OC\) и \(BO = OD\), так как \(O\) — середина диагоналей. Точка \(O\) принадлежит отрезкам \(AC\) и \(BD\).

Поскольку \(O\) — центр симметрии, при повороте фигуры на некоторый угол вокруг \(O\) она должна совпадать сама с собой. Рассмотрим возможные углы поворота.

Поворот на \(180^\text{°}\) вокруг центра \(O\) меняет местами вершины следующим образом: \(A \to C\), \(B \to D\), \(C \to A\), \(D \to B\). При этом прямоугольник совпадает сам с собой.

Повороты на углы \(90^\text{°}\) или \(270^\text{°}\) не сохраняют прямоугольник, так как стороны \(AB\) и \(BC\) не равны, и фигура после такого поворота не совпадает с исходной.

Следовательно, минимальный угол поворота прямоугольника вокруг центра симметрии, при котором он совпадает сам с собой, равен \(180^\text{°}\).

Ответ: 180°