ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 909 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте треугольник, гомотетичный данному тупоугольному треугольнику, если центром гомотетии является центр окружности, описанной около треугольника, коэффициент гомотетии \(k = 2\).

Пусть \( O \) — центр описанной окружности треугольника \( ABC \). Тогда при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k = 2 \) новые вершины \( A’, B’, C’ \) находятся по формулам:
\( \overrightarrow{OA’} = 2 \cdot \overrightarrow{OA} \),
\( \overrightarrow{OB’} = 2 \cdot \overrightarrow{OB} \),
\( \overrightarrow{OC’} = 2 \cdot \overrightarrow{OC} \).

Треугольник \( A’B’C’ \) — искомый гомотетичный треугольник.

Пусть \( \triangle ABC \) — заданный тупоугольный треугольник, а \( O \) — центр описанной окружности вокруг него. По определению, точки \( A, B, C \) лежат на окружности с центром \( O \).

Гомотетия с центром \( O \) и коэффициентом \( k = 2 \) означает, что для любой точки \( X \) плоскости новая точка \( X’ \) определяется так, что вектор \( \overrightarrow{OX’} \) равен \( k \cdot \overrightarrow{OX} \). То есть \( X’ \) лежит на луче \( OX \) и расстояние от \( O \) до \( X’ \) вдвое больше расстояния от \( O \) до \( X \).

Применим это к вершинам треугольника \( ABC \). Для каждой вершины \( A, B, C \) построим соответствующую вершину \( A’, B’, C’ \) по правилу:
\( \overrightarrow{OA’} = 2 \cdot \overrightarrow{OA} \),
\( \overrightarrow{OB’} = 2 \cdot \overrightarrow{OB} \),
\( \overrightarrow{OC’} = 2 \cdot \overrightarrow{OC} \).

Таким образом, точки \( A’, B’, C’ \) лежат на тех же лучах, что и \( A, B, C \), но вдвое дальше от центра \( O \).

Соединив точки \( A’, B’, C’ \), получим треугольник \( A’B’C’ \), который является гомотетичным треугольнику \( ABC \) с коэффициентом гомотетии \( k = 2 \) и центром гомотетии \( O \).

Так как гомотетия сохраняет углы и пропорции сторон, треугольник \( A’B’C’ \) подобен \( ABC \), но масштабирован в 2 раза относительно центра \( O \).