ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 91 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На продолжении стороны \( AB \) треугольника \( ABC \) за точку \( B \) отметили точку \( D \). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \( ACD \), если \( \angle ABC = 60^\circ \), \( \angle ADC = 45^\circ \), а радиус окружности, описанной около треугольника \( ABC \), равен 4 см.

На продолжении стороны \( AB \) треугольника \( ABC \) за точку \( B \) отметили точку \( D \). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \( ACD \), если \( \angle ABC = 60^\circ \), \( \angle ADC = 45^\circ \), а радиус окружности, описанной около треугольника \( ABC \), равен 4 см.

Дано: \( \angle ABC = 60^\circ \), \( \angle ADC = 45^\circ \), радиус описанной окружности треугольника \( ABC \) равен \( R_{ABC} = 4 \) см.

Радиус описанной окружности треугольника связан с длиной стороны и углом напротив этой стороны формулой \( R = \frac{AC}{2 \sin \angle ABC} \). Отсюда выразим сторону \( AC \): \( AC = 2 R \sin \angle ABC \).

Подставим известные значения: \( AC = 2 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ \). Значение синуса 60 градусов равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( AC = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ACD \). Радиус описанной окружности этого треугольника равен \( R_{ACD} = \frac{AC}{2 \sin \angle ADC} \).

Подставим найденное значение \( AC = 4 \sqrt{3} \) и угол \( \angle ADC = 45^\circ \), синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Получаем \( R_{ACD} = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \).

Упростим выражение: \( \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 2 \sqrt{6} \).

Ответ: \( 2 \sqrt{6} \) см.