ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 913 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая, параллельная стороне треугольника длиной 6 см, делит его на две фигуры, площади которых относятся как 1 : 3. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Дано \( AC = 6 \), \( EF \parallel AC \), площади относятся как \( S_{EBF} : S_{AEFC} = 1 : 3 \). Тогда площадь всего треугольника \( S_{ABC} = S_{EBF} + S_{AEFC} = 4 S_{EBF} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сторон:

\( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{EF}{AC}\right)^2 \Rightarrow \frac{1}{4} = \left(\frac{EF}{6}\right)^2 \Rightarrow EF = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \).

Ответ: \( EF = 3 \) см.

В треугольнике \( ABC \) дана сторона \( AC = 6 \) см, и прямая \( EF \), параллельная \( AC \), делит треугольник на две части. Эти части имеют площади, которые относятся как \( 1 : 3 \). Это означает, что площадь меньшего треугольника \( EBF \), ограниченного отрезком \( EF \) и сторонами \( AB \) и \( BC \), равна \( S_{EBF} \), а площадь оставшейся части, которая является трапецией \( AEFC \), равна \( 3 S_{EBF} \). Таким образом, площадь всего треугольника \( ABC \) равна сумме этих двух площадей, то есть \( S_{ABC} = S_{EBF} + 3 S_{EBF} = 4 S_{EBF} \).

Поскольку \( EF \parallel AC \), треугольники \( ABC \) и \( EBF \) подобны по двум углам. В подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. В нашем случае, если обозначить длину отрезка \( EF \) как \( x \), то отношение площадей можно записать как \( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left( \frac{x}{6} \right)^{2} \). Подставляя известное отношение площадей, получаем \( \frac{S_{EBF}}{4 S_{EBF}} = \left( \frac{x}{6} \right)^{2} \), что упрощается до \( \frac{1}{4} = \left( \frac{x}{6} \right)^{2} \).

Решая это уравнение относительно \( x \), находим, что \( \frac{x}{6} = \frac{1}{2} \), откуда следует \( x = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см. Таким образом, длина отрезка \( EF \), параллельного основанию \( AC \), равна 3 см. Это решение основано на свойствах подобных треугольников и соотношении площадей, что позволяет напрямую связать отношение площадей с отношением квадратов соответствующих сторон.