ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 914 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \(BC\) квадрата \(ABCD\) отметили точку \(M\) так, что \(BM : MC = = 1 : 2\). Отрезки \(AM\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\). Найдите площадь треугольника \(BPM\), если площадь треугольника \(APD\) равна 27 см^2.

Пусть сторона квадрата \(AD = 3x\), тогда \(BM = x\). Треугольники \(APD\) и \(BPM\) подобны с коэффициентом подобия \( \frac{BM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \). Площадь треугольника \(BPM\) равна \(S_{BPM} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot S_{APD} = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3\) см². Ответ: 3.

Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со стороной \(AD\). По условию точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) так, что отрезок \(BC\) делится в отношении \(BM : MC = 1 : 2\). Пусть длина стороны квадрата равна \(3x\), тогда \(BC = 3x\), и, соответственно, отрезок \(BM\) равен \(x\), а \(MC\) — \(2x\). Это важно, так как мы будем использовать отношение длин для нахождения коэффициента подобия треугольников.

Далее обратим внимание на треугольники \(APD\) и \(BPM\). У них есть два равных угла: угол при вершине \(A\) равен углу при вершине \(B\), так как стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны, а углы при пересечении с секущей равны по свойству накрест лежащих углов. Второй равный угол — это вертикальные углы при пересечении отрезков \(PD\) и \(PM\). Таким образом, по признаку равенства двух углов треугольники \(APD\) и \(BPM\) подобны.

Поскольку треугольники подобны, их соответствующие стороны соотносятся одинаково. В частности, отношение стороны \(BM\) к стороне \(AD\) равно коэффициенту подобия \(k\). Так как \(BM = x\), а \(AD = 3x\), то \(k = \frac{BM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}\). Площадь треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия, то есть отношение площадей равно \(k^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\).

Из условия известно, что площадь треугольника \(APD\) равна 27 см². Тогда площадь треугольника \(BPM\) вычисляется как \(S_{BPM} = \frac{1}{9} \times 27 = 3\) см².

Ответ: 3.