Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 915 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\). Найдите площадь трапеции, если \(AB : BM = 5 : 3\), \(AD > BC\), а площадь треугольника \(AMD\) равна 32 см^2.
Пусть \(AM = AB + BM\). По условию \(AB : BM = 5 : 3\), значит \(AM = 8k\), \(BM = 3k\). Треугольники \(AMD\) и \(BMC\) подобны, тогда
\( \frac{S_{BMC}}{S_{AMD}} = \left(\frac{BM}{AM}\right)^2 = \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64} \).
Площадь \(BMC\):
\( S_{BMC} = \frac{9}{64} \times 32 = \frac{9}{2} \).
Площадь трапеции:
\( S_{ABCD} = S_{AMD} — S_{BMC} = 32 — \frac{9}{2} = 27,5 \, \text{см}^2 \).
Ответ: 27,5 см².
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), где \(AD \parallel BC\). Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\). Из условия известно, что отношение отрезков на продолжении стороны \(AB\) равно \(AB : BM = 5 : 3\). Пусть \(AB = 5k\), тогда \(BM = 3k\), и суммарно \(AM = AB + BM = 8k\). Это важно для дальнейших вычислений, так как точка \(M\) лежит на продолжении \(AB\).
Так как \(AD \parallel BC\), углы при вершинах \(A\) и \(B\) с соответствующими углами при вершинах \(M\) и \(C\) равны по свойству параллельных прямых и секущих. Следовательно, треугольники \(AMD\) и \(BMC\) подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон: \( \frac{S_{BMC}}{S_{AMD}} = \left(\frac{BM}{AM}\right)^2 \). Подставляя длины отрезков, получаем \( \frac{S_{BMC}}{S_{AMD}} = \left(\frac{3k}{8k}\right)^2 = \frac{9}{64} \).
Далее, зная площадь треугольника \(AMD\), равную \(32\, \text{см}^2\), вычисляем площадь треугольника \(BMC\) как \( S_{BMC} = \frac{9}{64} \times 32 = \frac{288}{64} = \frac{9}{2} = 4.5\, \text{см}^2 \). Площадь трапеции \(ABCD\) равна разности площадей треугольников \(AMD\) и \(BMC\), так как трапеция образуется из этих двух треугольников, вычитаемых друг из друга: \( S_{ABCD} = S_{AMD} — S_{BMC} = 32 — 4.5 = 27.5\, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь трапеции равна \(27,5\, \text{см}^2\).
