ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 916 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 13\) см, \(AC = 10\) см. К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, параллельная основанию \(AC\), которая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Вычислите площадь треугольника \(MBK\).

Краткий ответ:

В треугольнике \(ABC\) с \(AB = BC = 13\), \(AC = 10\), высота \(BH = 12\), полупериметр \(p = 18\), площадь \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\). Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\), диаметр \(d = \frac{20}{3}\). Расстояние \(BE = BH — d = 12 — \frac{20}{3} = \frac{16}{3}\). Отношение площадей треугольников по подобию равно \(\left(\frac{BE}{BH}\right)^2 = \left(\frac{\frac{16}{3}}{12}\right)^2 = \frac{16}{81}\). Значит, \(S_{MBK} = \frac{16}{81} \cdot 60 = \frac{320}{27}\) см². Ответ: \( \frac{320}{27} \) см².

Подробный ответ:

В треугольнике \(ABC\) с равными сторонами \(AB = BC = 13\) и основанием \(AC = 10\) проведём высоту \(BH\) из вершины \(B\) на основание \(AC\). Поскольку треугольник равнобедренный, точка \(H\) — середина отрезка \(AC\), значит \(AH = \frac{AC}{2} = 5\).

Высота \(BH\) вычисляется по теореме Пифагора: \(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\).

Полупериметр треугольника \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18\).

Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\), диаметр окружности \(d = 2r = \frac{20}{3}\).

Поскольку касательная \(MK\) параллельна \(AC\) и касается вписанной окружности, расстояние от \(MK\) до \(AC\) равно \(d\). Тогда длина отрезка \(BE = BH — d = 12 — \frac{20}{3} = \frac{36}{3} — \frac{20}{3} = \frac{16}{3}\).

Треугольники \(ABC\) и \(MBK\) подобны, так как \(MK \parallel AC\), значит отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению соответствующих высот: \(\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{BE}{BH}\right)^2 = \left(\frac{\frac{16}{3}}{12}\right)^2 = \left(\frac{16}{36}\right)^2 = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81}\).

Следовательно, площадь треугольника \(MBK\) равна \(S_{MBK} = \frac{16}{81} \cdot 60 = \frac{960}{81} = \frac{320}{27}\).

Оцени решение