ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 917 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На продолжениях медиан \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(A_2\), \(B_2\), и \(C_2\) так, что \(A_1A_2 = = AA\), \(B_1B_2 = \frac{1}{2}BB\), \(C_1C_2 = \frac{1}{2}CC\) (рис. 290). Найдите площадь треугольника \(A_1B_2C_2\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 1.

Пусть \(E\) — центр тяжести треугольника \(ABC\), тогда \(AE = \frac{2}{3} AA_1\), \(EA_1 = \frac{1}{3} AA_1\), \(A_1A_2 = \frac{1}{2} AA_1\), следовательно \(EA_2 = EA_1 + A_1A_2 = \frac{1}{3} AA_1 + \frac{1}{2} AA_1 = \frac{5}{6} AA_1\). Коэффициент гомотетии \(k = \frac{EA_2}{AE} = \frac{5/6}{2/3} = \frac{5}{4}\). Площадь подобного треугольника равна \(k^2 \cdot S_{ABC} = \frac{25}{16} \cdot 1 = \frac{25}{16}\). Ответ: \( \frac{25}{16} \).

Пусть \(E\) — центр тяжести треугольника \(ABC\). Известно, что медиана \(AA_1\) делится точкой \(E\) в отношении \(2:1\), то есть \(AE = \frac{2}{3} AA_1\) и \(EA_1 = \frac{1}{3} AA_1\).

Точка \(A_2\) лежит на продолжении медианы \(AA_1\) за точкой \(A_1\), и расстояние \(A_1A_2 = \frac{1}{2} AA_1\). Следовательно, длина отрезка \(EA_2\) равна сумме \(EA_1\) и \(A_1A_2\), то есть \(EA_2 = \frac{1}{3} AA_1 + \frac{1}{2} AA_1 = \frac{5}{6} AA_1\).

Аналогично для медиан \(BB_1\) и \(CC_1\) точки \(B_2\) и \(C_2\) лежат на соответствующих продолжениях медиан, и отношения \(EB_2 : EB\) и \(EC_2 : EC\) совпадают с отношением \(EA_2 : AE\).

Таким образом, точки \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) образуют треугольник, который является гомотетичным треугольнику \(ABC\) с центром гомотетии в точке \(E\) и коэффициентом гомотетии \(k = \frac{EA_2}{AE} = \frac{5/6}{2/3} = \frac{5}{4}\).

Площадь подобного треугольника связана с площадью исходного через квадрат коэффициента подобия, то есть \(S_{A_2B_2C_2} = k^{2} \cdot S_{ABC} = \left(\frac{5}{4}\right)^{2} \cdot 1 = \frac{25}{16}\).

Ответ: \( \frac{25}{16} \).