ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 918 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого равны 3 см и \(\frac{4}{2}\) см, а острый угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём призмы, если её боковое ребро равно 6 см.
Площадь основания \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\).
Периметр основания \(P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(4\sqrt{2} + 3) = 6 + 8\sqrt{2}\).
Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = P_{ABCD} \cdot AE = (6 + 8\sqrt{2}) \cdot 6 = 12(3 + 4\sqrt{2})\).
Полная площадь поверхности \(S_{\text{пов}} = S_{\text{бок}} + 2S_{ABCD} = 12(3 + 4\sqrt{2}) + 24 = 12(5 + 4\sqrt{2})\).
Объём \(V = S_{ABCD} \cdot AE = 12 \cdot 6 = 72\).
Площадь основания параллелограмма \(ABCD\) определяется по формуле \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD\). Здесь \(AB\) и \(AD\) — стороны параллелограмма, а \(\angle BAD\) — угол между ними. Подставим известные значения: \(AB = 4\sqrt{2}\) см, \(AD = 3\) см, а угол \(\angle BAD = 45^\circ\). Значение синуса угла \(45^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, вычисление площади будет таким: \(S_{ABCD} = 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Умножая, сначала перемножаем корни: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\), затем числовые коэффициенты: \(4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 6\). Итог: \(S_{ABCD} = 6 \cdot 2 = 12\) квадратных сантиметров. Таким образом, площадь основания равна 12 см².
Периметр основания параллелограмма — это сумма длин всех сторон, а так как противоположные стороны равны, периметр равен \(P_{ABCD} = 2(AB + AD)\). Подставим значения: \(2(4\sqrt{2} + 3) = 2 \cdot 4\sqrt{2} + 2 \cdot 3 = 8\sqrt{2} + 6\) сантиметров. Это выражение показывает, что периметр состоит из суммы рациональной части 6 и иррациональной части \(8\sqrt{2}\), что важно учитывать при дальнейших вычислениях.
Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы \(AE\). Высота \(AE\) равна 6 см. Тогда площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = P_{ABCD} \cdot AE = (8\sqrt{2} + 6) \cdot 6\). Раскроем скобки: \(6 \cdot 8\sqrt{2} + 6 \cdot 6 = 48\sqrt{2} + 36\). Можно вынести общий множитель 12: \(S_{\text{бок}} = 12(3 + 4\sqrt{2})\) см². Это выражение отражает площадь боковой поверхности в компактной форме.
Полная площадь поверхности призмы включает площадь боковой поверхности и площадь двух оснований. Поскольку основание — параллелограмм площадью 12 см², площадь двух оснований равна \(2 \cdot 12 = 24\) см². Следовательно, полная площадь поверхности равна \(S_{\text{пов}} = S_{\text{бок}} + 2S_{ABCD} = 12(3 + 4\sqrt{2}) + 24\). Вынося 12 за скобки, получаем \(12(3 + 4\sqrt{2}) + 12 \cdot 2 = 12(3 + 4\sqrt{2} + 2) = 12(5 + 4\sqrt{2})\) см².
Объём призмы — это произведение площади основания на высоту: \(V = S_{ABCD} \cdot AE = 12 \cdot 6 = 72\) кубических сантиметров. Этот результат показывает, сколько пространства занимает призма в трёхмерном пространстве.
