ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 92 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности, описанной около треугольника \( ABC \), равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \( AOC \), где \( O \) — точка пересечения биссектрис треугольника \( ABC \), если \( \angle ABC = 60^\circ \).

Дано \( R_{ABC} = 6 \) см, \( \angle ABC = 60^\circ \).

В треугольнике \( ABC \) радиус описанной окружности \( R = \frac{AC}{2 \sin \angle B} \), значит \( AC = 2 R \sin 60^\circ = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \).

Углы \( A \) и \( C \) связаны с углом \( B \) так: \( \angle A + \angle C = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).

Угол между биссектрисами \( AO \) и \( CO \) равен \( \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) = 60^\circ \).

В треугольнике \( AOC \) угол \( O = 180^\circ — (\angle A + \angle C) = 60^\circ \).

Радиус описанной окружности \( \triangle AOC \) равен \( R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin \angle O} = \frac{6 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \).

Ответ: \( 6 \) см.

В треугольнике \( ABC \) известен радиус описанной окружности \( R_{ABC} = 6 \) см и угол \( \angle ABC = 60^\circ \).

Радиус описанной окружности связан со стороной \( AC \) и углом \( B \) формулой \( R = \frac{AC}{2 \sin \angle B} \). Подставляем известные значения: \( 6 = \frac{AC}{2 \sin 60^\circ} \).

Вычисляем \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), тогда \( 6 = \frac{AC}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\sqrt{3}} \).

Отсюда \( AC = 6 \sqrt{3} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит \( \angle A + \angle C = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).

Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) пересекаются в точке \( O \). Угол между биссектрисами равен половине суммы соответствующих углов, то есть \( \angle AOC = \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \).

В треугольнике \( AOC \) угол \( O \) равен \( 180^\circ — (\angle A + \angle C) = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ \).

Используем формулу радиуса описанной окружности для треугольника \( AOC \): \( R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin \angle O} \).

Подставляем значения: \( R_{AOC} = \frac{6 \sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{6 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \).

Ответ: \( 6 \) см.