ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 927 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Покажите, что любой треугольник можно разрезать на три части так, что из полученных частей можно сложить прямоугольник.

Любой треугольник \(ABC\) можно разрезать на три части с помощью отрезков \(EF\) и \(MN\), где \(E\) и \(M\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), а \(F\) и \(N\) — проекции \(E\) и \(M\) на \(AC\). Тогда \(EF \perp AC\), \(MN \perp AC\), \(EF = MN = \frac{1}{2} h_{ABC}\), а \(FN = \frac{1}{2} AC\). Из этих трёх частей можно сложить прямоугольник со сторонами \( \frac{1}{2} AC \) и \( \frac{1}{2} h_{ABC} \), равный по площади исходному треугольнику.

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Обозначим точку \(E\) как середину отрезка \(AB\), а точку \(M\) как середину отрезка \(BC\). Проведём перпендикуляры из точек \(E\) и \(M\) на сторону \(AC\), которые пересекают \(AC\) в точках \(F\) и \(N\) соответственно.

Отрезки \(EF\) и \(MN\) перпендикулярны \(AC\), при этом \(EF = MN = \frac{1}{2} h_{ABC}\), где \(h_{ABC}\) — высота треугольника \(ABC\), опущенная на основание \(AC\).

Поскольку \(E\) и \(M\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), отрезок \(EM\) параллелен \(AC\) и равен половине длины \(AC\). Аналогично, отрезок \(FN\) равен половине \(AC\), то есть \(FN = \frac{1}{2} AC\).

Таким образом, треугольник \(ABC\) разбивается на три части: треугольник \(AEF\), четырёхугольник \(EFMN\) и треугольник \(MNC\).

Четырёхугольник \(EFMN\) является прямоугольником, так как его стороны \(EF\) и \(MN\) перпендикулярны \(AC\), а \(EM\) и \(FN\) параллельны \(AC\) и равны по длине.

Площадь прямоугольника \(EFMN\) равна произведению его сторон:

\(S_{EFMN} = EF \times FN = \frac{1}{2} h_{ABC} \times \frac{1}{2} AC = \frac{1}{4} AC \times h_{ABC}\).

Площадь исходного треугольника \(ABC\) равна

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \times h_{ABC}\).

Три части, на которые разрезан треугольник, можно сложить так, чтобы получить прямоугольник \(EFMN\), площадь которого равна площади треугольника \(ABC\).

Таким образом, любой треугольник можно разрезать на три части, которые можно сложить в прямоугольник со сторонами \(\frac{1}{2} AC\) и \(\frac{1}{2} h_{ABC}\), равный по площади исходному треугольнику.