ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 928 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В круг радиуса 1 см вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17 см.

Сторона пятиугольника меньше длины дуги окружности, которую она стягивает, значит сумма всех сторон \(P < 2\pi < 7\). Диагонали не больше диаметра, их количество 5, значит сумма диагоналей \(D < 5 \cdot 2 = 10\). Тогда сумма всех сторон и диагоналей \(S = P + D < 7 + 10 = 17\).

Пятиугольник вписан в окружность радиуса \( R = 1 \) см, значит все его вершины лежат на окружности с длиной \( 2\pi R = 2\pi \) см. Сумма длин всех пяти сторон пятиугольника равна длине ломаной, соединяющей эти вершины, которая меньше длины всей окружности, то есть сумма сторон \( P < 2\pi \).

Максимальная длина любой диагонали пятиугольника не может превышать диаметр окружности, который равен \( 2R = 2 \) см. В пятиугольнике количество диагоналей равно \( \frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 \). Следовательно, сумма всех диагоналей \( D < 5 \cdot 2 = 10 \).

Суммируя длины всех сторон и диагоналей, получаем \( S = P + D < 2\pi + 10 \). Так как \( 2\pi \approx 6.283 \), то \( S < 6.283 + 10 = 16.283 \), что строго меньше 17.

Таким образом, сумма всех сторон и диагоналей пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 1 см, меньше 17 см.