ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 929 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан квадрат размером 99 Х 99 клеток. Каждая клетка квадрата окрашена в чёрный или в белый цвет. Разрешается одновременно перекрасить все клетки некоторого столбца или некоторой строки в тот цвет, клеток которого в этом столбце или в этой строке до перекрашивания было больше. Всегда ли можно добиться того, чтобы все клетки квадрата стали окрашенными в один цвет?

В квадрате \(99 \times 99\) найдётся не меньше 50 столбцов, в которых клеток одного цвета больше, чем другого. Все клетки этих столбцов можно перекрасить в доминирующий цвет. Тогда в каждой строке будет не менее 50 клеток этого цвета. Перекрашивая строки в этот цвет, получим квадрат одного цвета. Ответ: да.

В квадрате \(99 \times 99\) клеток каждая окрашена в чёрный или белый цвет. Рассмотрим все 99 столбцов. В каждом столбце либо больше чёрных клеток, либо больше белых. Если в столбце равное количество чёрных и белых, можно считать, что доминирующий цвет выбран произвольно.

По принципу Дирихле среди 99 столбцов найдётся не меньше \( \frac{99+1}{2} = 50 \) столбцов, в которых доминирует один и тот же цвет, например, чёрный.

Перекрасим все эти не менее 50 столбцов в их доминирующий цвет. После этого в каждой строке будет не менее 50 клеток этого цвета, так как в каждой строке по одному цвету полностью перекрашены не менее 50 столбцов.

Теперь рассмотрим строки. В каждой строке после перекраски столбцов есть не менее 50 клеток одного цвета. Значит, в каждой строке этот цвет доминирует.

Перекрасим все строки в доминирующий цвет каждой строки. После этой операции все клетки в квадрате станут одного цвета.

Таким образом, используя разрешённые операции, можно добиться, чтобы все клетки квадрата стали одного цвета.