ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 93 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Используя данные рисунка 20, найдите отрезок \( AD \), если \( CD = a \), \( \angle BAC = \gamma \), \( \angle DBA = \beta \).
Дано: \( CD = a \), \( \angle BAC = \gamma \), \( \angle DBA = \beta \).
В треугольнике \( ABD \) угол \( \angle D = 180^\circ — \gamma — \beta \).
Угол \( \angle CDB = 180^\circ — \angle D = \gamma + \beta \).
В прямоугольном треугольнике \( BCD \) угол \( \angle C = 90^\circ \), значит \( \cos \angle CDB = \frac{CD}{BD} \).
Отсюда \( BD = \frac{a}{\cos(\beta + \gamma)} \).
В треугольнике \( ABD \) по теореме синусов: \( \frac{AD}{\sin \beta} = \frac{BD}{\sin \gamma} \).
Тогда \( AD = \frac{BD \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{a \sin \beta}{\cos(\beta + \gamma) \sin \gamma} \).
Рассмотрим треугольник \( ABD \). В нем известно, что сумма всех углов равна \( 180^\circ \). Из условия задачи нам даны углы \( \angle BAC = \gamma \) и \( \angle DBA = \beta \). Поскольку \( \angle ADB \) — третий угол треугольника \( ABD \), его можно найти, вычтя сумму известных углов из \( 180^\circ \). Таким образом, \( \angle ADB = 180^\circ — \gamma — \beta \). Это важно, так как угол \( \angle ADB \) находится рядом с точкой \( D \), и он поможет нам вычислить другие необходимые элементы.
Следующий шаг — рассмотреть угол \( \angle CDB \), который является смежным с углом \( \angle ADB \) в точке \( D \). Поскольку смежные углы в одной точке на прямой суммируются до \( 180^\circ \), то угол \( \angle CDB = 180^\circ — \angle ADB \). Подставляя значение \( \angle ADB \), получаем \( \angle CDB = 180^\circ — (180^\circ — \gamma — \beta) = \gamma + \beta \). Это важный момент, потому что угол \( \angle CDB \) напрямую связан с отрезком \( BD \), который мы хотим найти для дальнейших вычислений.
Теперь рассмотрим треугольник \( BCD \), где угол \( \angle C \) — прямой, то есть равен \( 90^\circ \). В этом треугольнике по определению косинуса угла \( \angle CDB \) можно выразить отношение прилежащего катета \( CD \) к гипотенузе \( BD \) как \( \cos \angle CDB = \frac{CD}{BD} \). Из этого выражения следует, что \( BD = \frac{CD}{\cos \angle CDB} \). Подставляя известные значения, получаем \( BD = \frac{a}{\cos(\beta + \gamma)} \). Этот результат позволяет найти длину отрезка \( BD \) через заданный отрезок \( CD = a \) и углы \( \beta \) и \( \gamma \).
Далее возвращаемся к треугольнику \( ABD \) и применяем теорему синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. В частности, \( \frac{AD}{\sin \beta} = \frac{BD}{\sin \gamma} \). Отсюда можно выразить искомый отрезок \( AD \) как \( AD = \frac{BD \sin \beta}{\sin \gamma} \). Подставляя найденное ранее значение \( BD \), получаем окончательную формулу \( AD = \frac{a \sin \beta}{\cos(\beta + \gamma) \sin \gamma} \).
Таким образом, используя свойства треугольников, сумму углов, смежные углы, определение косинуса и теорему синусов, мы последовательно выразили длину отрезка \( AD \) через известные величины \( a \), \( \beta \) и \( \gamma \). Полученная формула позволяет вычислить \( AD \) при заданных условиях задачи.
