ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 930 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На плоскости отметили несколько точек. Некоторые из них отметили красным цветом, другие синим. Известно, что точек каждого цвета не меньше трёх и никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой. Докажите, что какие-то три точки одного цвета являются вершинами треугольника, на сторонах которого может лежать не более двух точек другого цвета.

Пусть есть множества красных и синих точек, по крайней мере по три точки каждого цвета, и никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами одного цвета и выберем треугольник с минимальной площадью, обозначим его \( \triangle ABC \). Если на сторонах \( \triangle ABC \) лежит более двух точек другого цвета, то можно построить треугольник с меньшей площадью, что противоречит выбору. Следовательно, существует треугольник с вершинами одного цвета, на сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

Пусть на плоскости заданы два множества точек: красные и синие, каждое содержит не менее трёх точек, и никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой. Рассмотрим множество всех треугольников, вершины которых принадлежат одному цвету, например, синие точки. Среди этих треугольников выберем треугольник \( \triangle ABC \) с минимальной площадью.

Пусть на сторонах \( \triangle ABC \) лежит более двух точек другого цвета, то есть красных. Рассмотрим сторону \( AB \), на которой лежит по крайней мере две красные точки, обозначим их \( P \) и \( Q \). Точки \( P \) и \( Q \) лежат на отрезке \( AB \), при этом \( P \neq Q \).

Возьмём третью красную точку \( R \), отличную от \( P \) и \( Q \), например, на стороне \( AC \) или \( BC \). Рассмотрим треугольник \( \triangle PQR \), вершины которого — красные точки. Площадь этого треугольника меньше площади \( \triangle ABC \), так как \( P \) и \( Q \) лежат на стороне \( AB \), а \( R \) — внутри или на сторонах \( \triangle ABC \).

Это противоречит тому, что \( \triangle ABC \) выбран с минимальной площадью среди треугольников с вершинами одного цвета. Значит, предположение о том, что на сторонах \( \triangle ABC \) лежит более двух точек другого цвета, неверно.

Следовательно, существует треугольник с вершинами одного цвета, на сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.